[论文解读] Backward stochastic viability property with jumps and applications to the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps

Xuehong Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过使用闭凸集上平方距离函数的正则化方法，建立了带跳的多维倒向随机微分方程（BSDEs）的倒向随机可行性质（BSVP）。关键贡献在于，给出了解几乎必然保持在给定闭凸集内的必要且充分条件，该条件随后被用于在生成器满足Lipschitz与可积性条件时，证明带跳的多维BSDEs的比较定理。

ABSTRACT

In this paper, we study conditions under which the solutions of a backward stochastic differential equation with jump remains in a given set of constrains. This property is the so-called "viability property". As an application, we study the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps.

研究动机与目标

• 刻画多维带跳BSDE解在所有时间 t∈[0,T] 几乎必然保持在给定闭凸集内的条件。
• 将倒向随机可行性质（BSVP）推广至跳跃扩散情形，推广先前针对仅扩散型BSDEs的结果。
• 将BSVP应用于推导带跳多维BSDEs的比较定理。
• 基于生成器相对于约束集距离函数的行为，提供一个可行性的必要且充分条件。
• 通过光滑化与伊藤公式应用于正则化距离函数，将Buckdahn等（2000）的方法推广至跳跃型BSDEs。

提出的方法

• 使用闭凸集 K 的平方距离函数的光滑化版本 φδ 来正则化距离函数 dK。
• 对带跳BSDE的解 (Y,Z,U) 应用伊藤公式于 φδ(Yt)。
• 推导出涉及生成器 f、梯度 ∇φδ 以及正则化函数的海森矩阵 D²φδ 的先验估计。
• 对生成器 f 相对于距离函数 dK 施加一个微分型条件，以 C* 和生成器的Lipschitz行为为参数的有界形式表达。
• 对所得期望估计应用Gronwall不等式，以控制当 δ→0 时 E[φδ(Yt)] 的增长。
• 利用Fatou引理由 δ→0 取极限，得出 dK(Yt)=0 几乎必然成立，从而推出对所有 t∈[0,T]，Yt∈K 几乎必然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多维带跳BSDE的解在所有时间 t∈[0,T] 几乎必然保持在给定闭凸集 K 内？
• RQ2 能否通过基于可行性的方法建立多维带跳BSDEs的比较定理？
• RQ3 在存在跳跃的情况下，确保倒向随机可行性质的生成器 f 的精确微分条件是什么？
• RQ4 与仅扩散情形相比，跳跃分量的引入如何影响可行条件？
• RQ5 正则化距离函数 φδ 在推导跳跃扩散型BSDEs的可行条件中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当生成器 f 满足涉及距离函数 dK 和常数 C* 的微分型条件时，带跳BSDE的解 (Y,Z,U) 几乎必然在所有 t∈[0,T] 保持在闭凸集 K 内。
• 可行条件可表示为：f(s,y,z,u)⋅∇d²K(y) ≤ (C*/2)d²K(y) + L|y−y′|dK(y) + (1/2)⟨D²d²K(y)z,z⟩ + ∫E[d²K(y+u(e))−d²K(y)−⟨∇d²K(y),u(e)⟩]n(de)，其中 y 接近 Yt。
• 证明依赖于对正则化距离函数 φδ 应用伊藤公式，经 δ→0 极限后，通过Gronwall不等式控制估计结果。
• 当 δ→0 时，正则化函数 φδ(Yt) 几乎必然收敛至 d²K(Yt)，且由Fatou引理可得 E[d²K(Yt)]=0，从而推出 Yt∈K 几乎必然成立。
• 关键估计 E[φδ(Yt)] ≤ [δ² + L(T−t)δ]e^(1+C*/2)T 对 δ<1/L 成立，且当 δ→0 时该估计趋于零。
• 多维带跳BSDEs的比较定理作为可行结果的直接应用被导出，将Hu与Peng（2006）的早期结果推广至跳跃扩散情形。