[论文解读] Backward stochastic Volterra integral equations associated with a Levy process and applications

Wen Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了由布朗运动和独立 Lévy 过程相关的 Teugels 鞍马鞅驱动的倒向随机伏尔泰拉积分方程（BSVIELs）的适应 M-解的存在性、唯一性和稳定性。提出了线性 BSVIELs 与前向方程之间的对偶性原理，证明了比较定理，并应用该框架通过 M-解构建连续时间的动态一致风险度量，将 BSDE 理论扩展至具有跳跃扩散动态的伏尔泰拉型方程。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of backward stochastic Volterra integral equations driven by Teugels martingales associated with an independent Lévy process and an independent Brownian motion (BSVIELs). We prove the existence and uniqueness as well as stability of the adapted M-solutions for those equations. Moreover, a duality principle and then a comparison theorem are established. As an application, we derive a class of dynamic risk measures by means of M-solutions of certain BSVIELs.

研究动机与目标

• 研究由独立布朗运动和独立 Lévy 过程相关的 Teugels 鞍马鞅驱动的倒向 stochastic Volterra 积分方程（BSVIELs）
• 在 Lipschitz 型条件下，建立这些方程的适应 M-解的存在性、唯一性和稳定性
• 在相同噪声源下，建立线性 BSVIELs 与线性前向 stochastic Volterra 积分方程（FSVIELs）之间的对偶性原理
• 利用对偶性原理，证明 M-解的比较定理
• 将理论框架应用于构建连续时间下的一类动态一致风险度量

提出的方法

• 通过两个过程共同生成的过滤流，形式化由独立布朗运动和与 Lévy 过程相关的 Teugels 鞍马鞅驱动的 BSVIELs
• 定义适应 M-解的空间，确保解分量 (Y, Z, U) 相对于过滤流的适应性
• 在生成器 f 的 Lipschitz 条件下，使用不动点论证证明 M-解的存在性与唯一性
• 通过相同的噪声结构，建立线性 BSVIELs 与线性 FSVIELs 之间的对偶性原理
• 借助对偶性及生成器 f 的性质，推导 M-解的比较定理
• 通过定义 ρ(t;φ(·)) = Y(t)，其中 (Y, Z, U) 是满足次可加性与正 homogeneous 性的生成器的特定 BSVIEL 的解，构建动态风险度量

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由布朗运动和 Lévy 过程相关的 Teugels 鞍马鞅驱动的倒向随机伏尔泰拉积分方程，其适应 M-解是否可在唯一性和稳定性下求解？
• RQ2 在相同噪声结构下，线性 BSVIELs 与前向随机伏尔泰拉积分方程之间是否存在对偶关系？
• RQ3 在生成器的适当条件下，M-解的比较定理是否成立？
• RQ4 能否从特定类别的 BSVIELs 的 M-解中推导出动态一致风险度量？
• RQ5 生成器的何种条件可确保所诱导的风险度量具有一致性？

主要发现

• 在生成器的 Lipschitz 条件下，由布朗运动和 Teugels 鞍马鞅驱动的 BSVIELs 的适应 M-解的存在性与唯一性得以建立
• 证明了线性 BSVIELs 与线性 FSVIELs 之间的对偶性原理，通过相同的噪声结构将倒向与前向方程的解联系起来
• 利用对偶性原理推导出 M-解的比较定理，表明若一个生成器支配另一个，则相应的解满足路径上的不等式
• 具有次可加性与正 homogeneous 性的生成器的 BSVIEL 的 M-解，可产生满足一致性公理的动态风险度量
• 当生成器形式为 f(t,s,y,z,u) = r(s)y + f̃(t,s,z,u)，其中 r(·) 有界且确定，且 f̃ 次可加且正 homogeneous 时，所诱导的风险度量为动态且一致
• 该框架将经典 BSDE 理论扩展至具有跳跃扩散动态的伏尔泰拉型方程，为动态风险管理与数学金融中的应用提供了支持