[论文解读] Bad Representations and Homotopy of Character Varieties

Clément Guerin, Sean Lawton+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用 5

一句话总结

该论文通过利用Borel-de Siebenthal子群对自由群的G-特征簇的奇点进行表征，解决了关于其奇点的长期猜想，证明当r ≥ 3时，所有G-特征簇中的奇点均为拓扑奇点，并计算了光滑部分的高阶同伦群。建立了稳定同构πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG)（k ≤ 4），并证实了Sikora的猜想：SL(n,C)是唯一具有CI性质的单群（即不可约子群的中心化子等于中心）。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive complex affine algebraic group, and let X denote the moduli space of G-valued representations of a rank r free group. We first characterize the singularities in X, extending a theorem of Richardson and proving a Mumford-type result about topological singularities; this resolves conjectures of Florentino-Lawton. In particular, we compute the codimension of the orbifold singular locus using facts about Borel-de Siebenthal subgroups. We then use the codimension bound to calculate higher homotopy groups of the smooth locus of X, proving conjectures of Florentino-Lawton-Ramras. Lastly, using the earlier analysis of Borel-de Siebenthal subgroups, we prove a conjecture of Sikora about centralizers of irreducible representations in Lie groups.

研究动机与目标

• 表征连通半单复代数群G与自由群（秩r ≥ 3）的G-特征簇Xr(G)的奇点集。
• 解决猜想：当r ≥ 3，或G的每个单因子的秩≥ 2时，Xr(G)中所有奇点均为拓扑奇点。
• 计算0 ≤ k ≤ 4时的高阶同伦群πk(Xr(G))，将[FLR17]中的结果推广至一般半单群G。
• 证明Sikora的猜想：SL(n,C)是唯一具有CI性质的单群（即不可约子群的中心化子等于中心）。

提出的方法

• 利用Borel-de Siebenthal（BdS）子群对Xr(G)中的轨道奇点进行分类，利用其极大环面在G中也是极大的性质。
• 应用Luna的切片定理与几何不变量理论（GIT），分析GIT商空间Hom(Fr, G)//G中奇点的局部结构。
• 建立类似Mumford的结果：当r ≥ 3时，Xr(G)中所有奇点均为拓扑奇点（在解析拓扑下不与球面同胚）。
• 通过BdS子代数对坏表示的余维进行估计，推导出光滑部分中低阶同伦群的消失性。
• 利用余维分析与谱序列技术，推导出稳定同构πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG)（k ≤ 4）。
• 利用BdS子群在例外群中的分类，证明仅当G ≅ SL(n,C)时，不可约表示的中心化子才等于G的中心，从而证明Sikora的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，Xr(G)的奇点集为纯拓扑奇点（即不存在Ck-光滑局部平凡化）？
• RQ2 Xr(G)中轨道奇点集的余维是多少？其与Borel-de Siebenthal子群有何关系？
• RQ3 当k ≤ 4时，πk(Xr(G))的行为如何？是否存在稳定模式？
• RQ4 哪些连通半单群G满足CI性质（即每个不可约子群的中心化子等于G的中心）？

主要发现

• 当r ≥ 3时，Xr(G)中所有奇点均为拓扑奇点，解决了Florentino-Lawton的猜想。
• Xr(G)中坏表示集的余维在r ≥ 3时有下界2r，且对经典群取等，该结果源于Borel-de Siebenthal子代数。
• 当G = GL(n,C)时，第二同伦群满足π2(Xr(G)) ≅ Z/nZ，更一般地π2(Xr(G)) ≅ π1(PG)，证实了Florentino-Lawton-Ramras的猜想。
• 当0 ≤ k ≤ 4时，πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG)在稳定范围内成立，对经典群与例外群均有显式计算。
• G中每个不可约表示的中心化子等于G的中心，当且仅当G与SL(n,C)同构（即同源），从而证明了Sikora的猜想。
• 在G2中，坏表示对应于通过SL3(C)或SO4(C)的不可约表示，其次数分别为3和2，这源于BdS子群的结构。