[论文解读] Badly approximable numbers and Littlewood-type problems

Yann Bugeaud, Nikolay Moshchevitin|ArXiv.org|May 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文利用Peres与Schlag的方法，证明了在$\mathbb{R}^2$中，满足$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$的实数对$(\alpha,\beta)$的集合具有全Hausdorff维数。该结果被推广至广义的Littlewood型问题，并证明了存在不可数多个此类例外对，且其维数为全维，从而解决了同时丢番图逼近中一个关键的度量问题。

ABSTRACT

We establish that the set of pairs $(α, β)$ of real numbers such that $$ \liminf_{q o + \infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \Vert q α\Vert \cdot \Vert q β\Vert > 0, $$ where $\Vert \cdot \Vert$ denotes the distance to the nearest integer, has full Hausdorff dimension in $\R^2$. Our proof rests on a method introduced by Peres and Schlag, that we further apply to various Littlewood-type problems

研究动机与目标

• 建立不可数多对$(\alpha, \beta)$的存在性，使得尽管对几乎所有对都有$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| = 0$，但该极限下确界仍为正。
• 证明此类例外对的集合在$\mathbb{R}^2$中具有全Hausdorff维数，从而将结果从测度论层面推进至维数论层面。
• 将该方法推广至各种Littlewood型问题，包括非齐次型与混合型，并证明更一般极限下确界条件下的全维数性。
• 通过Peres–Schlag方法提供一种构造性框架，用于生成此类例外对，即使显式构造仍难以实现。

提出的方法

• 应用Peres–Schlag方法，通过构建具有受控测度与覆盖条件的嵌套区间，构造全Hausdorff维数的集合。
• 在区间树状结构上应用质量分布原理，以确保所生成集合的维数为全维。
• 构造一列区间$I_q$，使得当$\alpha$属于一个坏逼近集时，$\|q\alpha\|$远离零，并通过递归选择过程控制$\|q\beta\|$。
• 采用二进制分解，并估计由线性型$|x\alpha + y\beta + z| \leq \varepsilon_{x,y}$定义的带状区域的总测度，确保长度之和足够小以满足维数准则。
• 改编先前工作的辅助引理，以处理极限下确界条件中的对数与反对数权重，从而实现对$a \in (0,1)$的推广。
• 将标准区间替换为单位正方形中由线性丢番图不等式定义的带状区域，使用大小$\varepsilon_{x,y} = \varepsilon / (|xy| \log^2 |xy|)$控制重叠，并确保测度和的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一对$(\alpha, \beta)$的集合，其Hausdorff维数为正，使得$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$？
• RQ2 Peres–Schlag方法能否被推广，以证明广义Littlewood型问题解集的全Hausdorff维数？
• RQ3 满足$\liminf_{x,y \geq 0} \max\{2, |xy|\} \cdot \|x\alpha + y\beta\| \cdot (\log \max\{2, |xy|\})^2 > 0$的对$(\alpha, \beta)$的集合的维数是多少？
• RQ4 该方法能否适应于非齐次或混合型丢番图逼近问题，例如涉及$p$-进绝对值的问题？
• RQ5 对于给定$\alpha \in \text{Bad}$，使极限下确界条件保持正的对数因子的最优指数为何？

主要发现

• 在$\mathbb{R}^2$中，满足$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$的对$(\alpha, \beta)$的集合具有全Hausdorff维数。
• 对每个$\alpha \in \text{Bad}$，使得$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$的$\beta \in \mathbb{R}$的集合具有全Hausdorff维数。
• 更强的结果成立：对任意$a \in (0,1)$，使得$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^{2-a} \cdot (\log 1/\|q\alpha\|)^a \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$的$\beta$的集合具有全Hausdorff维数。
• 满足$\liminf_{x,y \geq 0} \max\{2, |xy|\} \cdot \|x\alpha + y\beta\| \cdot (\log \max\{2, |xy|\})^2 > 0$的对$(\alpha, \beta)$的集合在$\mathbb{R}^2$中具有全Hausdorff维数。
• 该方法适用于间隙序列：对满足$t_{j+1}/t_j > 1 + 1/M$的$t_j$，集合$\{\xi \in [0,1] : \|\xi t_j\| \geq c/(M \log M) \text{ 对所有 } j\}$的Hausdorff维数至少为$1 - \varepsilon$（当$M$足够大时）。
• 对满足$t_n \sim n^\gamma$的序列，集合$\bigcap_{n \geq n_0} \{ \xi : \|\xi t_n\| > C / (n \log n) \}$具有全Hausdorff维数，这意味着对全维数的$\xi$，有$\liminf_{n\to\infty} n \log n \cdot \|\xi n^2\| > 0$成立。