[论文解读] Badly approximable points on planar curves and winning

Jinpeng An, Victor Beresnevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 13

一句话总结

该论文证明了在任意处处非退化的平面曲线或满足丢番图条件的非退化直线上的 $(i,j)$-坏逼近点集，在 Schmidt 游戏意义下是获胜的。该研究通过在不施加限制性下极限条件的情况下证明获胜性质，强化了 Davenport 的问题，并利用 [8] 中提出的新机制，将结果推广至非齐次情形。

ABSTRACT

For any i,j>0 with i+j =1, let Bad(i,j) denote the set of points (x,y) \in R^2 such that max \{ ||qx||^{1/i}, \, ||qy||^{1/j} \} > c/q for some positive constant c = c(x,y) and all q in N. We show that \Bad(i,j) \cap C is winning in the sense of Schmidt games for a large class of planar curves C, namely, everywhere non-degenerate planar curves and straight lines satisfying a natural Diophantine condition. This strengthens recent results solving a problem of Davenport from the sixties. In short, within the context of Davenport's problem, the winning statement is best possible. Furthermore, we obtain the inhomogeneous generalizations of the winning results for planar curves and lines and also show that the inhomogeneous form of Bad(i,j) is winning for two dimensional Schmidt games.

研究动机与目标

• 解决 Davenport 在 1960 年代提出的一个长期悬而未决的问题，即关于平面曲线上坏逼近点的存在性。
• 在不依赖先前结果中限制性下极限条件的前提下，建立非退化平面曲线 $\mathcal{C}$ 上集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 的获胜性质。
• 在较弱的、本质上最优的丢番图条件下，证明非竖直线 $\mathrm{L}_{a,b}$ 上 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{L}_{a,b}$ 的获胜性质。
• 利用 [8] 中提出的方法，将齐次情形下的获胜结果推广至非齐次情形，证明 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 在非齐次意义下的获胜性。

提出的方法

• 将 Schmidt 的 $(\alpha,\beta)$-游戏框架适配于证明：对于处处非退化的 $C^{(2)}$ 平面曲线，集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 是获胜的。
• 引入一种基于树的精细论证，使用 II 型子树，并通过组合界估计相关节点的数量。
• 采用 [8] 中提出的新型非齐次推广技术，将齐次获胜结果提升至非齐次情形。
• 利用曲线的曲率和 $C^{(2)}$ 正则性来控制逼近行为，并应用博弈论论证。
• 对与某些集合 $\Delta(P)$ 和 $\Delta_{\bm{\theta}}(v)$ 的交集大小进行递归估计，以界定坏节点的数量。
• 建立递归不等式 $a_n \geq 182a_{n-1} - \sum_{k=1}^n 43^k a_{n-k}$，以证明博弈树中交集的无限性，从而推出获胜性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意处处非退化的平面曲线 $\mathcal{C}$，集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 是否在不施加限制性下极限条件的情况下是获胜的？
• RQ2 在比已知条件更弱的丢番图条件下，是否可以证明非竖直线 $\mathrm{L}_{a,b}$ 上 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{L}_{a,b}$ 的获胜性质？
• RQ3 在二维 Schmidt 游戏中，$\mathbf{Bad}(i,j)$ 的非齐次版本是否是获胜的？
• RQ4 在曲线上的 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 的获胜性质是否意味着交集具有完整的 Hausdorff 维数，而无需额外假设？
• RQ5 能否有效应用 [8] 中的机制，将齐次获胜结果推广至丢番图逼近中的非齐次情形？

主要发现

• 对于任意处处非退化的 $C^{(2)}$ 平面曲线 $\mathcal{C}$，集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ 是获胜的，且无需依赖先前结果中的下极限条件 (1.2)。
• 对于非竖直线 $\mathrm{L}_{a,b}$，获胜性质在比 (1.3) 更弱的丢番图条件下成立，具体要求为 $\liminf_{q\to\infty} q^{1/\sigma - \epsilon} \|qa\| > 0$ 对某个 $\epsilon > 0$ 成立，该条件本质上是最优的。
• 非齐次版本的 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 在二维 Schmidt 游戏中是获胜的，从而将齐次结果推广至非齐次情形。
• 证明表明：对所有 $n \geq 1$，有 $a_n > 112a_{n-1}$，其中 $a_n$ 表示博弈树中节点的数量，由此推出交集为无限，故集合是获胜的。
• 获胜结果意味着 $\dim(\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap \mathcal{C}) = 1$ 对任意此类曲线 $\mathcal{C}$ 成立，确认了无需限制性假设的完整维数。
• 在 Davenport 问题的背景下，该结果是最佳可能的，因为若不削弱底层的丢番图条件，获胜陈述无法进一步改进。