[论文解读] Badly approximable systems of linear forms in absolute value

Mumtaz Hussain, Simon Kristensen|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文证明了在维度为 $ u $ 的格点下，关于绝对值的坏逼近线性型系统集合具有最大Hausdorff维数 $ mn $，从而解决了[9]中的一个猜想。证明通过双Lipschitz变换将一般情形约化为标准形式，并应用Schmidt关于坏逼近矩阵的定理，在目标集合中构造出一个全维子集。

ABSTRACT

In this paper we show that the set of mixed type badly approximable simultaneously small linear forms is of maximal dimension. As a consequence of this theorem we settle a conjecture of the first author.

研究动机与目标

• 确定以 $ A \subset \mathbb{Z}^n $ 为参数的格点（维度为 $ u $）的绝对值意义下坏逼近线性型系统的Hausdorff维数。
• 解决[9]中关于 $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $ 维数的猜想，该情形对应于 $ u = 0 $ 的情况。
• 通过引入混合范数（部分坐标使用绝对值，部分使用到整数的距离）扩展经典坏逼近系统理论。
• 证明当 $ m + u \leq n $ 时，集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 具有全Hausdorff维数 $ mn $，且在该情况下具有全Lebesgue测度。
• 澄清介于 $ \operatorname{Bad}(m,n) $ 与 $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $ 之间的混合丢番图逼近集合的测度论与维数论性质。

提出的方法

• 通过保持Hausdorff维数和测度论性质的线性自同构，将一般格情形约化为标准形式 $ A = \mathbb{Z}^u \times \{0\} $。
• 构造 $ \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) $ 中的集合 $ \mathcal{X} $，其矩阵具有分块结构 $ \begin{pmatrix} I_u & 0 \\ X' & X'' \end{pmatrix} $，且具有正的 $ (n-u)n $-维Lebesgue测度。
• 定义 $ S = \operatorname{Bad}(m+u-n, n) $，即 $ m+u-n $ 个变量的经典坏逼近集合，并利用Schmidt定理断言 $ \dim S = (m+u-n)n $。
• 对每个 $ Y \in S $，构造形如 $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $ 的矩阵，其中 $ X \in \mathcal{X} $，并证明其满足所需的绝对值下界。
• 利用Hausdorff维数的双Lipschitz不变性，将 $ S $ 的维数结果转移至 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 中构造的子集。
• 通过超立方体覆盖的反证法，并在 $ \mathcal{X} $ 上积分以控制纤维的维数，若 $ \dim \Lambda < mn $ 则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于维度为 $ u $ 的格点 $ A \subset \mathbb{Z}^n $，在绝对值意义下坏逼近的线性型系统集合的Hausdorff维数是多少？
• RQ2 当 $ m + u \leq n $ 时，集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 是否具有最大Hausdorff维数 $ mn $，且在该情况下具有全Lebesgue测度？
• RQ3 当格点维度 $ u $ 变化时，$ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 的维数如何变化？当 $ m + u > n $ 时其行为如何？
• RQ4 文献[9]中关于 $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $（当 $ m < n $ 时）的猜想是否正确？它在混合范数框架下是否依然成立？
• RQ5 在混合使用绝对值与到整数距离的线性变换下，坏逼近系统集合的维数是否保持不变？

主要发现

• 对于任意满足 $ m + u \leq n $ 的格点 $ A \subset \mathbb{Z}^n $（维度为 $ u $），集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 的Hausdorff维数恰好为 $ mn $，即最大维数。
• 当 $ m + u \leq n $ 时，集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 具有全 $ mn $-维Lebesgue测度，即在测度论意义上为余稠密。
• 该结果证实了[9]中的猜想 $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $，与作者先前的‘最终评论’中认为其可能为零维的观点相矛盾。
• 当 $ m + u > n $ 时，集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 的Lebesgue测度为零，与Khintchine–Groshev型定理一致。
• 证明表明，通过形如 $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $ 的矩阵（其中 $ X \in \mathcal{X} $，$ Y \in \operatorname{Bad}(m+u-n,n) $）构造的集合 $ \Lambda \subset \operatorname{Bad}_A(m,n) $ 具有全维数 $ mn $。
• Hausdorff维数的双Lipschitz不变性确保了维数结果在基变换下保持不变，从而可约化至标准格情形。