[论文解读] Badly approximable vectors on a vertical Cantor set

Erez Nesharim|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 10

一句话总结

该论文利用测度论与博弈论方法，证明了在垂直康托集上，带有加权丢番图逼近条件的病态逼近集的无限交集非空。研究证明，当底层集合支持满足幂律的测度时，此类交集不可数且具有全豪斯多夫维数，从而在无需权重下限一致为正的条件下，推广了此前关于施密特猜想的结果。

ABSTRACT

For $i, j > 0, i + j = 1$, the set of badly approximable vectors with weight $(i, j)$ is defined by $Bad(i, j) = \{(x, y) \in \R^2 : \exists c > 0 \forall q\in\N, \;\; \max\{q||qx||^{1/i}, q||qy||^{1/j} \} > c\}$, where $||x||$ is the distance of $x$ to the nearest integer. In 2010 Badziahin-Pollington-Velani solved Schmidt's conjecture which was stated in 1982, proving that $Bad(i, j) \cap Bad(j, i)$ is nonempty. Using Badziahin-Pollington-Velani's technique with reference to fractal sets, we were able to improve their results: Assume that we are given a sequence $(i_t, j_t)$ with $i_t, j_t > 0, i_t + j_t = 1$. Then, the intersection of $Bad(i_t, j_t)$ over all t is nonempty.

研究动机与目标

• 将 Badziahin-Pollington-Velani 2010 年对施密特猜想的证明，扩展至加权病态逼近集的无限交集。
• 消除早期结果中要求 liminf min{i_t, j_t} > 0 的假设，从而解决一个关键开放问题。
• 证明当康托集支持满足幂律的测度时，无限多个加权病态逼近集与固定垂直康托集的交集非空。
• 证明此类交集在康托博弈理论意义下为获胜集，从而蕴含全豪斯多夫维数。

提出的方法

• 通过线性型对病态逼近集进行对偶表述，将 Bad_c(i,j) 定义为所有满足 |Ax + By + C| 沿 |A|^{1/i}, |B|^{1/j} 函数远离零的 (x,y) 的集合。
• 应用满足幂律的测度概念，即 μ(B(x,r)) ≈ r^β（x 属于支撑集），以刻画交集的维数。
• 采用绝对博弈与获胜集理论：证明 Bad(i,j) ∩ Θ 在 R 上为绝对获胜集，从而蕴含全维性。
• 构建具有正则性条件的区间树状族，以定义 Alice 在 N-绝对博弈中的获胜策略。
• 利用绝对获胜集的无限交集性质，证明所有 t 的 Bad(i_t,j_t) ∩ C 的交集在 C 上为获胜集。
• 借助 Jinpeng An 的结果：若非空，则 Bad(i,j) ∩ C 为获胜集，并结合博弈论维数结果，推导出全维性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权重 (i_t,j_t) 满足 i_t + j_t = 1 且 liminf min{i_t,j_t} = 0 时，加权病态逼近集 Bad(i_t,j_t) 的无限交集是否非空？
• RQ2 在不假设权重有统一正下界的情况下，能否确定无限多个 Bad(i_t,j_t) 集与垂直康托集交集的维数？
• RQ3 若康托集支持幂律测度，则 Bad(i,j) 与该康托集的交集是否仍非空且具有全维数？
• RQ4 当 C 为支持幂律测度的垂直康托集时，集合 Bad(i,j) ∩ C 是否在博弈论意义下为获胜集？
• RQ5 是否仅通过获胜性质与测度的幂律条件，即可确立交集的全维数？

主要发现

• 当 C 为满足指数 β 的幂律测度的支撑集，且 liminf min{i_t,j_t} > 0 时，无限交集 ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C 非空。
• 对任意 β' < β，存在支撑于 Bad(i,j) ∩ C 上的测度 ν，其指数大于 β'，从而推出 dim(Bad(i,j) ∩ C) = β。
• 集合 Bad(i,j) ∩ Θ 在 R 上为绝对获胜集，这意味着此类集合的任意可数交集均不可数且具有全维数。
• 若 C 支持幂律测度，则交集 ∩_t Bad(i_t,j_t) ∩ C 在 C 上为获胜集，因此其豪斯多夫维数等于 dim(C)。
• 该结果无需对 min{i_t,j_t} 引入 liminf 条件，从而部分解决了 Badziahin-Pollington-Velani 留下的问题。
• 通过获胜集性质与具有幂律测度的度量空间中获胜集的全维性质，确立了交集的全维数。