[论文解读] Bahadur Representation for U-Quantiles of Dependent Data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用 1

一句话总结

本文在强混合与绝对平稳依赖结构下，为U-quantiles建立了Bahadur表示，将经典样本分位数的Bahadur结果推广至U-统计量。作为推论，推导出中心极限定理与 iterated logarithm 定律，并在多项式混合系数下获得了更优的误差率，尤其改进了混合数据样本分位数的现有结果。

ABSTRACT

U-quantiles are applied in robust statistics, like the Hodges-Lehmann estimator of location for example. They have been analyzed in the case of independent random variables with the help of a generalized Bahadur representation. Our main aim is to extend these results to U-quantiles of strongly mixing random variables and functionals of absolutely regular sequences. We obtain the central limit theorem and the law of the iterated logarithm for U-quantiles as straightforward corollaries. Furthermore, we improve the existing result for sample quantiles of mixing data.

研究动机与目标

• 将经典样本分位数的Bahadur表示推广至依赖数据的U-quantiles。
• 在强混合与绝对平稳过程下，建立U-quantiles的中心极限定理与迭代对数定律。
• 改进现有关于混合数据样本分位数的误差率界，尤其在混合系数多项式衰减条件下。
• 为依赖数据设置下的鲁棒估计量（如Hodges-Lehmann估计量）提供理论基础。
• 处理非i.i.d.数据结构，如绝对平稳过程的泛函与1-近似序列。

提出的方法

• 应用Hoeffding分解，将U-quantiles拆分为线性与退化两部分。
• 利用Vervaat定理，将逆经验过程与Bahadur余项联系起来。
• 在真实分位数中心的收缩区间上，建立经验过程的一致收敛速率。
• 应用Borel-Cantelli引理与Chebyshev不等式，控制退化U-统计量分量的二阶矩。
• 利用变差条件与一致连续性假设，控制核函数在分位数附近的性质。
• 在多项式混合条件下，证明余项几乎必然以速率 $ n^{-5/8 - \gamma/8} (\log n)^{3/4} (\log \log n)^{1/2} $ 收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强混合依赖下，U-quantiles的Bahadur表示是什么？
• RQ2 在混合系数多项式衰减下，U-quantiles的误差率与样本分位数相比如何？
• RQ3 Bahadur表示能否推广至绝对平稳过程的泛函？
• RQ4 在依赖U-quantile情形下，中心极限定理与迭代对数定律有何含义？
• RQ5 1-近似条件与变差条件如何影响U-quantiles的收敛速率？

主要发现

• 在多项式强混合条件下，$ \alpha(k) \sim k^{-\beta} $，$ \beta > 7/2 $，U-quantiles的Bahadur余项以速率 $ O\left(n^{-5/8 - \gamma/8} (\log n)^{3/4} (\log \log n)^{1/2}\right) $ 几乎必然收敛。
• U-quantiles的中心极限定理与迭代对数定律可直接作为Bahadur表示的推论得出。
• 在多项式混合条件下，对混合数据样本分位数的误差率得到改进，优于先前结果。
• 余项 $ R_n $ 满足 $ \limsup_{n \to \infty} \left( \frac{n}{2 \log \log n} \right)^{3/4} R_n = 2^{1/2} 3^{-3/4} p^{1/4} (1-p)^{1/4} $，与i.i.d.数据下的Kiefer界一致。
• 在绝对平稳性条件下，若 $ \sum i \beta(i) < \infty $，且核函数满足一致变差条件，则对绝对平稳过程的泛函，相同收敛速率成立。
• 通过Borel-Cantelli引理与退化U-统计量分量的矩界，建立了余项的几乎必然收敛。