[论文解读] Baire classification of separately continuous functions and Namioka property

Volodymyr Mykhaylyuk|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文在分别连续函数与Baire分类理论中建立了两个关键结果：(1) 若对所有 $Y$，所有从 $X \times Y$ 到 $\mathbb{R}$ 的分别连续函数都属于第一类Baire，则 $X$ 的每个Lindelöf子空间都双射且连续地映射到一个可分度量空间；(2) 若 $X$ 是Baire空间且 $Y$ 是紧致空间，则每个分别连续且Baire可测的函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 在 $X \times Y$ 的一个稠密 $G_\delta$-子集 $A \times Y$ 上是联合连续的，从而正面回答了G. Vera关于Namioka性质的问题。

ABSTRACT

We prove the following two results. 1. If $X$ is a completely regular space such that for every topological space $Y$ each separately continuous function $f:X imes Y o\mathbb R$ is of the first Baire class, then every Lindelöf subspace of $X$ bijectively continuously maps onto a separable metrizable space. 2. If $X$ is a Baire space, $Y$ is a compact space and $f:X imes Y o\mathbb R$ is a separately continuous function which is a Baire measurable function, then there exists a dense in $X$ $G_δ$-set $A$ such that $f$ is jointly continuous at every point of $A imes Y$ (this gives a positive answer to a question of G. Vera).

研究动机与目标

• 刻画所有分别连续函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 属于第一类Baire的拓扑空间 $X$ 的性质。
• 研究分别连续函数的Baire分类与Namioka性质之间的关系。
• 解决文献[5]中的问题1.2，即所有Baire Moran空间是否必为Namioka空间。
• 探索分别连续函数在剩余集上表现出联合连续性的拓扑条件。

提出的方法

• 采用改进的Banach-Mazur博弈的博弈论方法，分析分别连续函数的连续性性质。
• 构造开集序列 $U_n$、$V_n$ 以及 $Y$ 中的点 $y_n'$、$y_n''$，在假设函数在剩余集上不联合连续的前提下导出矛盾。
• 利用Baire范畴定理证明玩家 $\beta$ 的策略 $\tau$ 不可能是获胜策略，从而推出所有 $U_n$ 的交集中存在一点 $x_0$。
• 应用函数在可数坐标集上集中的概念，分析 $f$ 在 $x_0$ 处的竖直截面，利用引理5.1。
• 证明 $f^{x_0}$ 的值由其在可数集 $T_0 \subseteq S_0$ 上的取值决定，若振幅超过 $\varepsilon_0$ 则导致矛盾。
• 结合 $X$ 的Baire性质与函数序列的逐点极限结构，推导出在稠密 $G_\delta$-集上具有联合连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对所有 $Y$，所有分别连续函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 都属于第一类Baire？
• RQ2 每个Baire Moran空间（即所有分别连续实值函数都属于第一类Baire的Baire空间）是否必为Namioka空间？
• RQ3 当 $X$ 是Baire空间且 $Y$ 是紧致空间时，能否保证分别连续函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 具有Namioka性质？
• RQ4 B-性质（所有分别连续函数都属于第一类Baire）对 $X$ 的Lindelöf子空间施加了何种拓扑限制？

主要发现

• 若 $X$ 是完全正则空间，且对所有 $Y$，所有分别连续函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 都属于第一类Baire，则 $X$ 的每个Lindelöf子空间都可双射且连续地映射到一个可分度量空间。
• 对于Baire空间 $X$ 与紧致空间 $Y$，每个分别连续且Baire可测的函数 $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ 在 $X \times Y$ 的一个稠密 $G_\delta$-子集 $A \times Y$ 上是联合连续的，证实了G. Vera的猜想。
• 博弈论论证表明，玩家 $\beta$ 的策略 $\tau$ 不可能是获胜策略，从而推出存在一点 $x_0$，使得函数的振幅由可数个坐标决定。
• 函数在 $x_0$ 处的竖直截面 $f^{x_0}$ 由其在可数集 $T_0$ 上的取值决定，若联合连续性不成立则导致矛盾。
• 结果表明每个Baire弱Moran空间都是Namioka空间，为文献[5]中的问题1.2提供了肯定回答。
• 证明依赖于函数序列 $f_n$ 的收敛性，以及在逐点极限下坐标依赖关系的保持，确保极限函数在 $T_0$ 上的纤维上为常数。