[论文解读] Bakry-Émery conditions on almost smooth metric measure spaces

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文建立了几乎光滑紧致度量测度空间满足Bakry-Émery条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ 的充分条件。它构造了首个在Bakry-Émery意义下具有下界Ricci曲率但局部维数不恒定的空间例子——即两个闭基点黎曼流形在其基点处粘合而成的空间。该例子表明，$\operatorname{BE}(K,N)$ 不蕴含RCD条件，亦不保持局部维数恒定。

ABSTRACT

In this short note, we give a sufficient condition for almost smooth compact metric measure spaces to satisfy the Bakry-Émery condition $BE (K, N)$. The sufficient condition is satisfied for the glued space of any two (not necessary same dimensional) closed pointed Riemannian manifolds at their base points. This tells us that the $BE$ condition is strictly weaker than the $RCD$ condition even in this setting, and that the local dimension is not constant even if the space satisfies the $BE$ condition with the coincidence between the induced distance by the Cheeger energy and the original distance. In particular, the glued space gives a first example with a Ricci bound from below in the Bakry-Émery sense, whose local dimension is not constant. We also give a necessary and sufficient condition for such spaces to be $RCD(K, N)$ spaces.

研究动机与目标

• 确定几乎光滑紧致度量测度空间满足Bakry-Émery条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ 的充分条件。
• 证明即使Cheeger距离与原始距离重合，$\operatorname{BE}(K,N)$ 条件也不蕴含 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件。
• 构造首个满足 $\operatorname{BE}(K,N)$ 且局部维数非恒定的空间示例，表明局部维数在Bakry-Émery条件下不被保持。
• 为这类空间满足 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件提供必要且充分条件。
• 通过展示一个满足前者但不满足后者的空间，澄清 $\operatorname{BE}(K,N)$ 与 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 之间的区别，其原因在于Sobolev到Lipschitz性质的失效。

提出的方法

• 分析两个闭基点黎曼流形 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ 在其基点处粘合而成的空间，配备标准测度。
• 通过光滑函数 $f$ 的弱形式不等式 $\frac{1}{2}\Delta|\nabla f|^2 \geq \frac{(\Delta f)^2}{N} + \langle \nabla \Delta f, \nabla f \rangle + K|\nabla f|^2$ 应用Bakry-Émery条件 $\operatorname{BE}(K,N)$。
• 利用粘合空间继承了Ricci曲率下界 $K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$ 和维数上界 $N = \max\{m_1, m_2\}$ 的事实。
• 证明Cheeger距离 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ 在粘合空间中与原始距离 $\mathsf{d}$ 重合，即满足 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$。
• 证明粘合空间中Sobolev到Lipschitz性质的失效，而该性质是 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 所必需的，从而证明其不是 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 空间。
• 使用 $L^2$-函数上的谱理论，借助Laplacian的特征函数 $\varphi_i^Y$ 和Rayleigh商，分析 $H^{1,2}$-空间中的收敛性与范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bakry-Émery条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ 是否可被局部维数非恒定的度量测度空间满足？
• RQ2 Cheeger距离与原始距离重合是否蕴含 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件？
• RQ3 是否存在一个满足 $\operatorname{BE}(K,N)$ 且 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 但不满足 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 的空间？
• RQ4 几乎光滑度量测度空间满足 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 的必要且充分条件是什么？
• RQ5 两个不同维数的黎曼流形的粘合空间是否可满足 $\operatorname{BE}(K,N)$ 但失效Sobolev到Lipschitz性质？

主要发现

• 任意两个闭基点黎曼流形 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ 在其基点处粘合而成的空间满足 $\operatorname{BE}(K, \max\{m_1, m_2\})$，其中 $K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$。
• 在粘合空间中，Cheeger距离 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ 与原始距离 $\mathsf{d}$ 重合，因此 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 成立。
• 该粘合空间不满足Sobolev到Lipschitz性质，因此对任意 $K, N$ 均不是 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 空间。
• 这提供了首个满足 $\operatorname{BE}(K,N)$ 且在Bakry-Émery意义下具有Ricci曲率下界但局部维数非恒定的空间示例。
• 该空间不满足Bishop-Gromov不等式在预期形式下的结论，表明 $\operatorname{BE}(K,N)$ 且 $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ 不蕴含体积增长控制。
• 此类粘合空间为 $\operatorname{RCD}(K,N)$ 的必要且充分条件是Sobolev到Lipschitz性质的成立，而该性质在一般粘合情形下失效，除非两个流形维数相同且满足额外正则性条件。