[论文解读] Balanced model order reduction for systems depending on a parameter

Carles Batlle, Néstor Roqueiro|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有不确定参数的线性时不变系统的参数感知平衡模型降阶方法，采用参数的二阶校正项的幂级数展开。该方法保持了系统结构和稳定性，同时显式地将参数纳入降阶模型中，从而可在参数范围变化时实现鲁棒控制器设计，且首次通过解析方法推导出二阶奇异子空间校正项。

ABSTRACT

We provide an analytical framework for balanced realization model order reduction of linear control systems which depend on an unknown parameter. Besides recovering known results for the first order corrections, we obtain explicit novel expressions for the form of second order corrections for singular values and singular vectors. The final result of our procedure is an order reduced model which incorporates the uncertain parameter. We apply our algorithm to the model order reduction of a linear system of masses and springs with parameter dependent coefficients.

研究动机与目标

• 开发一种模型降阶框架，以保留具有不确定系数的线性系统的参数依赖性。
• 克服标准平衡截断方法的局限性，后者需要数值参数值并丢失符号参数依赖性。
• 推导在参数变化下奇异值和奇异子空间的一阶与二阶校正项的解析表达式。
• 构建一个显式包含参数的多项式形式的降阶模型，从而可在参数范围内用于控制器设计。
• 在具有参数依赖刚度和质量系数的弹簧-质量系统上验证该方法。

提出的方法

• 将可控性和可观测性 Gramian 矩阵展开为不确定参数的幂级数，通过摄动方法求解 Lyapunov 方程。
• 通过幂级数展开计算 Gramian 矩阵的平方根，以获得平衡变换矩阵。
• 对平衡系统进行奇异值分解（SVD），推导出奇异值和奇异子空间的显式二阶校正项。
• 对平衡系统进行截断，保留参数的二阶多项式依赖关系。
• 在 MATLAB 中实现该算法，并在包含 10 个质量块、共 20 个状态的弹簧-质量系统上进行验证。
• 使用 Bode 图比较零阶、一阶和二阶多项式近似与精确降阶模型之间的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平衡模型降阶方法扩展至具有符号不确定参数的系统，同时保持稳定性与系统结构？
• RQ2 在参数变化下，奇异值和奇异子空间的一阶与二阶校正项的解析表达式是什么？
• RQ3 随着参数中多项式近似的阶数提高，降阶模型的精度如何改善？
• RQ4 所得到的参数化降阶模型能否在参数范围变化时有效用于控制器设计？
• RQ5 参数化降阶模型中，计算成本与近似误差之间的权衡如何？

主要发现

• 该方法成功计算出显式依赖于不确定参数的降阶模型，以多项式形式表示，从而支持参数化控制器设计。
• 首次在该背景下通过解析方法推导出奇异子空间的二阶校正项，为 SVD 摄动理论提供了新贡献。
• 对于具有参数依赖系数的弹簧-质量系统，二阶近似与精确降阶模型在 Bode 图上的匹配度显著优于一阶或零阶近似。
• 零阶近似对应于固定参数值 m=0，而更高阶项可提升在整个参数范围内的精度。
• 仿真结果表明，多项式近似引起的截断误差随阶数增加而减小，表明近似质量得到改善。
• 该方法目前仅适用于稳定系统，且尚未为完整近似链提供误差界，但仿真结果表明随着高阶项的增加，方法具有收敛性。