[论文解读] Balanced truncation and singular perturbation approximation model order reduction for stochastically controlled linear systems

Martin Redmann, Melina A. Freitag|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文将平衡截断（BT）和奇异摄动逼近（SPA）模型降阶方法扩展至由加性 Lévy 白噪声驱动的线性随机系统，通过广义黎曼诺夫方程引入随机可 reach 性与可观测性 Gramian。论文推导了两种方法的严格误差界，并在带有 Lévy 噪声的阻尼波动方程上进行了数值验证，结果表明误差估计紧密且维度降阶效果显著。

ABSTRACT

When solving linear stochastic differential equations numerically, usually a high order spatial discretisation is used. Balanced truncation (BT) and singular perturbation approximation (SPA) are well-known projection techniques in the deterministic framework which reduce the order of a control system and hence reduce computational complexity. This work considers both methods when the control is replaced by a noise term. We provide theoretical tools such as stochastic concepts for reachability and observability, which are necessary for balancing related model order reduction of linear stochastic differential equations with additive Lévy noise. Moreover, we derive error bounds for both BT and SPA and provide numerical results for a specific example which support the theory.

研究动机与目标

• 开发线性随机系统中模型降阶（MOR）的理论框架，其中控制输入被替换为 Lévy 噪声。
• 为基于平衡的 MOR 在具有加性 Lévy 噪声的系统中引入适用于随机系统的可 reach 性与可观测性概念。
• 在具有 Lévy 噪声的随机设置下，为平衡截断（BT）和奇异摄动逼近（SPA）推导先验误差界。
• 将该理论应用于具有 Lévy 噪声的二阶阻尼波动方程，并通过数值方法验证误差界。
• 证明 BT 和 SPA 在实际中对具有 Lévy 噪声的随机系统可产生小误差与紧密误差界。

提出的方法

• 通过包含 Lévy 过程的二阶矩在内的广义黎曼诺夫方程，定义用于描述随机可 reach 性与可观测性 Gramian，以体现 Lévy 噪声特性。
• 利用随机 Gramian 的交叉乘积构造平衡变换，以实现基于投影的模型降阶。
• 基于被忽略的 Hankel 有界值推导一般误差界，将确定性误差界推广至随机情形。
• 将一般误差界特化至 BT 和 SPA，表明误差依赖于被忽略的奇异值之和。
• 通过谱 Galerkin 方法对二阶阻尼波动方程进行空间半离散化，并对所得高维系统应用 MOR 方法。
• 利用 Ito 微积分与半群理论分析降阶系统的收敛性，并推导全系统与降阶系统解之间均方误差的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格将平衡截断与奇异摄动逼近扩展至由加性 Lévy 噪声驱动的线性随机系统？
• RQ2 为定义具有 Lévy 噪声系统的平衡性，需要哪些随机可 reach 性与可观测性 Gramian 的类比？
• RQ3 在具有 Lévy 噪声的随机系统背景下，能否为 BT 和 SPA 推导出先验误差界？
• RQ4 误差界在实际中表现如何？对于如随机 PDE 等实际应用，其误差界是否紧密？
• RQ5 所提出的 MOR 技术能否成功应用于具有 Lévy 噪声的二阶阻尼波动方程？其是否保持了精度？

主要发现

• 论文通过广义黎曼诺夫方程引入随机 Gramian，成功将平衡截断与奇异摄动逼近扩展至具有加性 Lévy 噪声的线性随机系统。
• 为 BT 和 SPA 推导出误差界，并表明其依赖于被忽略的 Hankel 奇异值之和，将确定性误差界推广至随机设置。
• 误差界紧密且在具有 Lévy 噪声的二阶阻尼波动方程上通过数值验证，实际误差较小。
• 数值结果证实，BT 与 SPA 均能生成高精度的降阶模型，即使在 Lévy 噪声激励下也几乎不损失系统行为。
• 通过半群理论与 Ito 等距，建立了降阶系统向全系统的理论收敛性，且随着降阶维数增加，均方误差趋于零。
• 该框架为具有 Lévy 噪声的高维随机系统提供了实用且理论严谨的 MOR 方法，特别适用于需要重复采样的蒙特卡洛模拟。