[论文解读] Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems

Peter Benner, Pawan Goyal|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用 29

一句话总结

该论文提出了一种针对大规模二次-双线性（QB）控制系统的平衡截断模型降阶方法，通过引入基于伏尔泰拉级数和希尔伯特伴随系统的代数Gramian矩阵。该方法在保持系统稳定性和动力学特性的同时实现了高效的降阶，相较于矩匹配方法，在捕捉非线性PDE（如FitzHugh-Nagumo系统）中的极限环方面表现更优。

ABSTRACT

We discuss balanced truncation model order reduction for large-scale quadratic-bilinear (QB) systems. Balanced truncation for linear systems mainly involves the computation of the Gramians of the system, namely reachability and observability Gramians. These Gramians are extended to a general nonlinear setting in Scherpen (1993), where it is shown that Gramians for nonlinear systems are the solutions of state-dependent nonlinear Hamilton-Jacobi equations. Therefore, they are not only difficult to compute for large-scale systems but also hard to utilize in the model reduction framework. In this paper, we propose algebraic Gramians for QB systems based on the underlying Volterra series representation of QB systems and their Hilbert adjoint systems. We then show their relations with a certain type of generalized quadratic Lyapunov equation. Furthermore, we present how these algebraic Gramians and energy functionals relate to each other. Moreover, we characterize the reachability and observability of QB systems based on the proposed algebraic Gramians. This allows us to find those states that are hard to control and hard to observe via an appropriate transformation based on the Gramians. Truncating such states yields reduced-order systems. Additionally, we present a truncated version of the Gramians for QB systems and discuss their advantages in the model reduction framework. We also investigate the Lyapunov stability of the reduced-order systems. We finally illustrate the efficiency of the proposed balancing-type model reduction for QB systems by means of various semi-discretized nonlinear partial differential equations and show its competitiveness with the existing moment-matching methods for QB systems.

研究动机与目标

• 解决由于计算状态相关Gramian矩阵的复杂性，导致大规模二次-双线性（QB）系统缺乏有效平衡截断方法的问题。
• 基于QB系统的伏尔泰拉级数表示和希尔伯特伴随算子，构建QB系统的代数Gramian矩阵。
• 建立所提出的Gramian矩阵与能量泛函以及系统可到达性/可观察性之间的联系。
• 引入Gramian矩阵的截断版本，以提高模型降阶中的计算效率。
• 通过半离散化非线性PDE的数值实验，验证降阶系统的稳定性和准确性。

提出的方法

• 利用QB系统的伏尔泰拉级数表示的核函数及其关联的希尔伯特伴随系统，推导出代数Gramian矩阵。
• 将Gramian矩阵表述为广义二次Lyapunov方程的解，从而实现代数计算，而非求解非线性汉密尔顿-雅可比方程。
• 定义可到达性和可观察性的能量泛函，并将其与所提出的Gramian矩阵的二次型相关联。
• 引入Gramian矩阵的截断版本，以降低计算成本，同时保持关键系统特性。
• 应用平方根平衡截断法于QB系统，结合所提出的Gramian矩阵，实现稳定降阶模型。
• 通过半离散化非线性PDE（包括Burgers方程和FitzHugh-Nagumo方程）验证该方法，与矩匹配技术进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性系统中状态相关Gramian矩阵难以计算的前提下，如何将平衡截断方法扩展至二次-双线性系统？
• RQ2 所提出的代数Gramian矩阵与QB系统中可到达性和可观察性能量泛函之间存在何种关系？
• RQ3 所提出的Gramian矩阵如何表征QB系统的可到达性和可观察性？其在模型降阶中起到何种指导作用？
• RQ4 在大规模模型降阶背景下，Gramian矩阵的截断版本具有哪些优势？
• RQ5 所提出的平衡截断方法是否能够保持复杂动力学特征（如极限环），特别是在矩匹配方法失效的情况下？

主要发现

• 所提出的QB系统代数Gramian矩阵基于伏尔泰拉级数和希尔伯特伴随系统推导，为状态相关非线性Gramian矩阵提供了可计算的替代方案。
• Gramian矩阵满足广义二次Lyapunov方程，支持高效的数值计算，并可无缝集成至模型降阶框架中。
• 可到达性和可观察性的能量泛函被证明等价于所提出Gramian矩阵的二次型，验证了其物理解释的合理性。
• 截断Gramian矩阵显著降低了计算成本，同时保持了精度，并支持稳定降阶模型的构建。
• 对于FitzHugh-Nagumo系统，平衡截断方法成功捕捉了极限环动力学，而采用线性$ ilde{H}_2$-最优插值的矩匹配方法则未能再现该特征。
• 通过平衡截断得到的降阶系统阶数$ ilde{n}=20$能准确复现原系统的行为，包括极限环；而矩匹配方法即使经过阶数调优，也未能获得稳定或准确的结果。