[论文解读] Balancing Minimum Spanning and Shortest Path Trees

Samir Khuller, Balaji Raghavachari+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2002

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 9

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，用于构建一棵生成树，该生成树能同时近似最小生成树（MST）和以给定顶点为根的最短路径树（SPT）。该方法实现了最优权衡：树的总权重至多为MST权重的$1 + \sqrt{2}/\gamma$倍，且从根到任意顶点的距离至多为SPT距离的$1 + \sqrt{2}\gamma$倍，该权衡为最优。

ABSTRACT

This paper give a simple linear-time algorithm that, given a weighted digraph, finds a spanning tree that simultaneously approximates a shortest-path tree and a minimum spanning tree. The algorithm provides a continuous trade-off: given the two trees and epsilon > 0, the algorithm returns a spanning tree in which the distance between any vertex and the root of the shortest-path tree is at most 1+epsilon times the shortest-path distance, and yet the total weight of the tree is at most 1+2/epsilon times the weight of a minimum spanning tree. This is the best tradeoff possible. The paper also describes a fast parallel implementation.

研究动机与目标

• 解决一个基本问题：构造一棵单一的生成树，使其同时近似最小生成树的总权重和根顶点的最短路径距离。
• 在两个相互冲突的目标之间提供连续的权衡：最小化总权重并保持最短路径距离。
• 证明此类树的存在性，并表明该权衡是最优的，从而建立近似因子的紧致界限。
• 开发用于计算这些平衡生成树的高效串行与并行算法。
• 证明在一般情况下，寻找此类树是NP完全的，但在特定条件下可在线性时间内求解。

提出的方法

• 该算法使用Awerbuch等人提出的浅层轻量树构造方法的改进版本，以平衡MST和SPT的性质。
• 它利用了SPT与候选树之间距离违规性在单调性上的类似二分查找的处理过程。
• 关键洞见是定义一个函数$ m(i,j) $，用于判断在SPT中从根到顶点$ u_j $的距离是否超过候选树中该距离的$ \alpha $倍，通过从根出发的路径遍历实现。
• 并行实现使用$ n $个处理器在CREW PRAM上，通过前缀最大值和二分查找在$ O(\log n) $时间内计算函数$ J(i) = \min\{j : m(i,j)\} $。
• 最终的树通过组合MST和SPT的边构建，确保同时满足权重和距离约束。
• 该算法确保所生成的树为$ (\alpha, \beta) $-LAST，其中$ \beta = 1 + \frac{2}{\alpha - 1} $，实现了最佳可能的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一棵单一的生成树，使其同时近似最小生成树和最短路径树？
• RQ2 在总权重近似因子与路径距离近似因子之间，最优权衡是什么？
• RQ3 是否能够高效地在串行与并行环境中计算此类树？
• RQ4 是否存在某些图中，对于给定的权衡，不存在此类树？判断其存在性的难度如何？
• RQ5 在欧几里得图等特殊图类中，或在放宽距离约束的条件下，该权衡能否进一步优化？

主要发现

• 对于任意$ \alpha > 1 $和$ \beta \geq 1 + \frac{2}{\alpha - 1} $，均存在$ (\alpha, \beta) $-LAST，且该权衡为最优。
• 该算法在给定MST和SPT作为输入时，可在$ O(m + n) $时间内串行构造此类树。
• 该算法在使用$ n $个处理器的CREW PRAM上，可在$ O(\log n) $时间内运行，实现了最优的并行性能。
• 当$ \beta < 1 + \frac{2}{\alpha - 1} $时，存在平面图使得此类树不存在，从而证明了权衡的紧致性。
• 判断$ (\alpha, \beta) $-LAST是否存在的问题即使在固定$ \alpha > 1 $时也是NP完全的。
• 即使在有向图中，也可在线性时间内找到最小权重的最短路径树，前提是有任意一个最短路径树作为输入。