[论文解读] Balayage and Short time Fourier transform frames

Enrico Au-Yeung, John J. Benedetto|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文利用Beurling的平移理论（balayage）、谱合成与严格重数理论，建立了短时傅里叶变换（STFT）的非均匀采样定理。证明了：若对于分离集 $E = \{(s_m, t_n)\} \subset \mathbb{R}^{2d}$ 与紧致、凸、对称的S集 $\Lambda \subset \widehat{\mathbb{R}}^{2d}$，平移是可行的，则在 $E$ 处的STFT采样构成 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的框架，从而确保从非均匀采样中稳定重构信号。

ABSTRACT

Using his formulation of the potential theoretic notion of balayage and his deep results about this idea, Beurling gave sufficient conditions for Fourier frames in terms of balayage. The analysis makes use of spectral synthesis, due to Wiener and Beurling, as well as properties of strict multiplicity, whose origins go back to Riemann. In this setting and with this technology, we formulate and prove non-uniform sampling formulas in the context of the short time Fourier transform (STFT).

研究动机与目标

• 将非均匀采样理论推广至短时傅里叶变换（STFT）框架，借助高级调和分析工具。
• 利用平移、谱合成与严格重数理论，建立STFT框架存在的充分条件。
• 为STFT采样提供一个通用框架，将经典傅里叶框架结果推广至不规则、非均匀采样集合。
• 通过平移理论，将STFT采样问题与有界Radon测度理论及Wiener-Pitt型定理相联系。

提出的方法

• 采用Beurling的平移公式，将测度从 $\mathbb{R}^{2d}$ 转移到分离集 $E \subset \mathbb{R}^{2d}$ 上，确保 $E$ 上测度的傅里叶变换与 $\Lambda$ 上的一致。
• 利用 $\Lambda$ 的谱合成（S集性质），确保在 $\Lambda$ 上傅里叶变换为零，即意味着对 $\mathcal{C}(\Lambda)$ 中函数的积分为零。
• 运用严格重数概念，控制 $\Lambda$ 上测度的逆傅里叶变换的衰减，以保证非平凡性与稳定性。
• 使用Feichtinger代数 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^d)$ 作为函数空间，使得 $V_g f \in L^1(\mathbb{R}^{2d})$，从而可采用基于 $L^1$ 的框架界。
• 通过在 $E = \{(s_m, t_n)\}$ 处的STFT采样构造重构公式，将 $V_g f(y, \omega)$ 表示为关于 $E$ 的绝对收敛级数，系数 $a_{mn}(y, \omega)$ 满足绝对可 summable 的 $L^1$-范数。
• 在 $\mathcal{F}(V_g f)$ 支撑于 $\Lambda$ 的假设下，推导出框架界 $A, B > 0$，使得 $A \|f\|_{L^2}^2 \leq \sum_{m,n} |V_g f(s_m, t_n)|^2 \leq B \|f\|_{L^2}^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于分离集 $E \subset \mathbb{R}^{2d}$ 与紧致、凸、对称的S集 $\Lambda \subset \widehat{\mathbb{R}}^{2d}$，平移是可行的？
• RQ2 如何利用平移与谱合成理论，为非均匀点处的STFT采样推导出框架界？
• RQ3 何种函数空间条件可确保函数的STFT可积，且在 $E$ 处采样可实现稳定重构？
• RQ4 严格重数理论如何促进在 $\Lambda$ 上存在具有衰减傅里叶变换的非平凡测度？

主要发现

• 平移对 $(E, \Lambda)$ 可行当且仅当对每个 $\mu \in M_b(\mathbb{R}^{2d})$，存在 $\nu \in M_b(E)$，使得 $\widehat{\mu} = \widehat{\nu}$ 在 $\Lambda$ 上成立。
• 若 $\Lambda$ 是紧致、凸、对称的S集，且对分离集 $E$ 平移可行，则在 $E$ 处的STFT采样构成 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的框架。
• 对满足 $\mathcal{F}(V_g f)$ 支撑于 $\Lambda$ 的 $f \in \mathcal{S}_0(\mathbb{R}^d)$，框架不等式 $A \|f\|_{L^2}^2 \leq \sum_{m,n} |V_g f(s_m, t_n)|^2 \leq B \|f\|_{L^2}^2$ 成立，其中 $A$ 与 $B$ 为正的常数。
• 上框架界 $B$ 可取为 $C \|V_{G_0} G\|_1$，其中 $G_0$ 为高斯窗函数，$C$ 为涉及 $V_{G_0} G_0$ 的卷积型表达式的上确界。
• 在 $E$ 分离且满足Gröchenig覆盖条件的前提下，从 $E$ 处的STFT采样对 $f$ 的重构在 $\mathcal{S}_0(\mathbb{R}^d)$ 中是稳定且无条件的。