[论文解读] Balayage of measures and subharmonic functions on a system of rays. I. Classic case

Б. Н. Хабибуллин, A. V. Khasanova|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文研究了复平面上具有共同原点的一组射线上的测度与次调和函数的经典balayage（扫除）方法。文章建立了一种构造方法，可得到一个在射线外部为调和函数、在射线上与原函数一致的次调和函数，从而为整函数与次调和函数的正规增长提供了新判据，并给出了在非凸无界区域中指数系完备性的条件。

ABSTRACT

We develop classical balayage (sweeping) measures and subharmonic functions on the ray system $S$ with a general origin on the complex plane $\mathbb C$. This allows for a subharmonic function $v$ on $\mathbb C$ to construct also a subharmonic function on $\mathbb C$ that is harmonic outside $S$ and coincides with $v$ on $S$. We give applications to the relationship between the growth of an entire function on $S$ and the distribution of its zeros, the conditions of complete regular growth of entire and subharmonic functions on the ray system, to the problems of incompleteness of exponential systems in the spaces of holomorphic functions in nonconvex unbounded open sets narrowing near infinity. This first part of our work contains the necessary preparatory material for the construction of a new type of finite genus balayage on $S$ in the second part.

研究动机与目标

• 发展复平面上具有共同原点的一组射线上的测度与次调和函数的经典balayage技术。
• 构造一个在射线系统外部为调和函数、在射线上与原函数一致的次调和函数。
• 为后续在相同射线系统上推广有限阶广义balayage理论奠定基础。
• 基于零点分布与增长测度，建立整函数与次调和函数正规增长的新判据。
• 研究在非凸无界区域上全纯函数空间中指数系完备性的条件。

提出的方法

• 采用适用于复平面上非紧致、非凸射线系统的经典balayage技术。
• 应用调和测度与Poisson积分表示法分析增长性与边界行为。
• 利用Riesz表示定理将次调和函数表示为其关联测度的形式。
• 在射线系统的背景下引入并分析Blaschke条件与Lindelöf条件。
• 通过重复积分与测度论构造方法，将balayage推广至射线系统。
• 应用该理论推导全纯函数空间中增长正则性与指数系完备性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典balayage方法推广至复平面上具有共同原点的一组射线？
• RQ2 在何种条件下，复平面上的次调和函数可被转化为射线系统外部的调和函数，同时在射线上保持原值？
• RQ3 整函数在一组射线上呈现完全正则增长的充要条件是什么？
• RQ4 整函数的零点分布如何与其在一组射线上的增长性相关？
• RQ5 在非凸无界区域上全纯函数空间中，指数系完备性的条件是什么？

主要发现

• 成功将经典balayage方法推广至复平面上的射线系统，实现了在射线外部为调和函数、在射线上等于原函数的次调和函数的构造。
• 文章基于其零点或关联测度的分布，建立了整函数与次调和函数在射线系统上完全正则增长的判据。
• 将Blaschke条件重新表述为次调和函数的形式，为相关整函数的存在性提供了必要且充分的条件。
• 利用balayage技术推导出在非凸无界区域上全纯函数空间中指数系完备性的条件。
• 该方法实现了Rubel–Malliavin定理在整函数指数型最小指标图宽度方面的全面推广。
• 在适当的增长与测度条件下，该理论支持存在一个非零整函数 $ g $，使得 $ u + \log|g| $ 为次调和函数且为零型。