[论文解读] Ballot tilings and increasing trees

Keiichi Shigechi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过植株平面树、Hermite历史以及广义完美匹配，为类型B的选举平铺（ballot tilings）的生成函数建立了双射证明——这是Dyck平铺在类型B上的推广。研究证明，固定下路径的选举平铺的生成函数可分解为乘积形式，并将其与Kazhdan–Lusztig多项式及量子整数联系起来，通过基于树的组合结构，将Dyck平铺已知结果推广至选举平铺情形。

ABSTRACT

We study enumerations of Dyck and ballot tilings, which are tilings of a region determined by two Dyck or ballot paths. We give bijective proofs to two formulae of enumerations of Dyck tilings through Hermite histories. We show that one of the formulae is equal to a certain Kazhdan--Lusztig polynomial. For a ballot tiling, we establish formulae which are analogues of formulae for Dyck tilings. Especially, the generating functions have factorized expressions. The key tool is a planted plane tree and its increasing labellings. We also introduce a generalized perfect matching which is bijective to an Hermite history for a ballot tiling. By combining these objects, we obtain various expressions of a generating function of ballot tilings with a fixed lower path.

研究动机与目标

• 将Kim已证明的关于Dyck平铺的两个猜想公式推广至类型BI和BIII的选举平铺。
• 在选举平铺、Hermite历史与广义完美匹配之间建立双射联系。
• 证明固定下路径的选举平铺生成函数可分解，扩展Dyck平铺中的分解结果。
• 通过树的标号，将选举平铺生成函数与Kazhdan–Lusztig多项式及量子整数联系起来。
• 提供选举平铺生成函数的多种等价表达式，包括递推关系与乘积公式。

提出的方法

• 以具有递增标号的植株平面树（Lascoux–Schützenberger型）作为核心组合模型。
• 为选举平铺引入Hermite历史，并构建Hermite历史与广义完美匹配之间的双射。
• 在标号上定义度函数（如 deg₁₀, deg₁₁），以编码生成函数中的权重。
• 应用由树分解导出的递推关系，显式求解生成函数。
• 利用树标号的逆前序词解释逆序统计量，并将其与生成函数关联。
• 通过涉及量子整数与(1+q^i)项的乘积公式，建立生成函数的分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Dyck平铺的两个猜想公式推广至类型BI和BIII的选举平铺？
• RQ2 固定下路径的选举平铺生成函数的组合解释是什么？
• RQ3 选举平铺与Kazhdan–Lusztig多项式及量子整数之间有何关系？
• RQ4 选举平铺的生成函数能否以多种等价形式表达，包括因式分解形式与递推形式？
• RQ5 广义完美匹配与Hermite历史在编码选举平铺结构中起什么作用？

主要发现

• 类型BIII的选举平铺（固定下路径）的生成函数可分解为Dyck平铺生成函数与一个额外因子的乘积。
• 类型BI的选举平铺（固定下路径）的生成函数可分解，如定理7.4所示。
• 类型BI的选举平铺生成函数可表示为对一棵树的标号求和，权重为 q^{deg₁₁(L)}，并乘以(1+q^i)项的乘积。
• 建立了树标号与选举平铺之间的双射，推广了Dyck平铺条带（DTS）构造。
• 证明生成函数等于对逆前序词求和，权重为 q^{inv(σ)}，确认其与逆序统计量的关联。
• 生成函数满足可显式求解的递推关系，从而得到多种等价表达式，包括乘积形式。