[论文解读] Banach-Hecke algebras and p-adic Galois Representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Oct 30, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文为p进域上半单代数群相关的Banach-Hecke代数构建了Satake同构的p进完备化，将晶体伽罗瓦表示与GL_{d+1}(L)的酉Banach空间表示联系起来。它建立了这些代数的特征标与对偶群中伽罗瓦参数之间的对应关系，通过Dieudonné模与滤过等构，提供了p进局部Langlands函子性原理。

ABSTRACT

We take some initial steps towards illuminating the (hypothetical) $p$-adic local Langlands functoriality principle relating Galois representations of a $p$-adic field $L$ and admissible unitary Banach space representations of $G(L)$ when $G$ is a split reductive group over $L$. The outline of our work is derived from Breuil's remarkable insights into the nature of the correspondence between 2-dimensional crystalline Galois representations of the Galois group of $\Qdss_p$ and Banach space representations of $GL_{2}(\Qdss_p)$.

研究动机与目标

• 将经典Satake同构推广至p进域上半单群相关的Banach-Hecke代数背景下的p进完备化。
• 建立完备化Iwahori-Hecke代数的特征标与对偶群G′中的伽罗瓦参数之间的对应关系。
• 通过Dieudonné模理论，将GL_{d+1}(L)的晶体伽罗瓦表示与拓扑不可约的酉Banach空间表示联系起来。
• 将框架推广至r-滤过K-等构，并探索其与扩展群上伽罗瓦表示的联系。

提出的方法

• 利用紧开子群U的有限维连续表示ρ，构造局部紧群G上取值于End(ρ)的双不变紧支集函数的Hecke代数的p进完备化。
• 将Iwahori-Hecke代数的完备化最大交换子代数识别为对偶环T′中的有理子域T′_ρ的仿射代数。
• 证明T′_ρ关于Weyl群作用的商同构于球面Hecke代数的完备化，对大多数群G而言，后者为Tate代数。
• 利用Breuil理论，通过Hodge-Tate权与Frobenius特征值，将晶体Dieudonné模的同构类与Banach-Hecke代数的特征标联系起来。
• 为r ≥ 1引入r-滤过K-等构，将框架推广至经典情形之外，同时保持弱L-可接受性与Tannakian结构。
• 应用Steinberg定理与Zariski稠密性论证，将对偶群中的K-有理点上拉至G′(K̄)中的伽罗瓦参数，考虑了整性与无分支扩张的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进域上半单群相关的Banach-Hecke代数背景下，Satake同构如何实现p进完备化？
• RQ2 完备化Iwahori-Hecke代数的特征标与对偶群G′中的伽罗瓦参数之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 GL_{d+1}(L)的晶体伽罗瓦表示如何通过Dieudonné模与Hodge-Tate权与酉Banach空间表示关联？
• RQ4 局部Langlands对应关系能否推广至r-滤过K-等构？这些范畴具有何种结构？
• RQ5 K的代数闭包在从Banach-Hecke代数的特征标实现伽罗瓦参数时起到何种作用？

主要发现

• Iwahori-Hecke代数的完备化最大交换子代数同构于对偶环T′中子域T′_ρ的仿射代数，从而实现了Satake同构的p进完备化。
• T′_ρ关于Weyl群作用的商同构于球面Hecke代数的完备化，对大多数群G而言，后者为Tate代数。
• 在η_L的整性假设下，Banach-Hecke代数ℋ̌(G,ρ|U₀)的K-有理特征标导出非空的伽罗瓦参数集合Gal(̄L/L) → G′(̄K)。
• 晶体表示与Banach表示之间的对应关系通过Dieudonné模D_cris(V)实现，其中光滑部分源于Weil群作用，代数部分源于Hodge-Tate权。
• r-滤过K-等构的范畴FIC^{L-adm}_{K,r}是一个K-线性中性Tannakian范畴，将经典情形推广至有理滤过指数。
• 对任意r ≥ 1，从G′表示到r-滤过等构的函子I_{(ν,b)}保持弱L-可接受性，且命题6.1在该推广情形下仍成立，证明方式相同。