[论文解读] Banach spaces with no proximinal subspaces of codimension 2

C. J. Read|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过精心设计的范数构造了一个巴拿赫空间 $(c_0, \|\cdot\|)$，以证明并非所有巴拿赫空间都存在有限余维数 $n \geq 2$ 的可逼近子空间。作者利用有理序列序列和通过 $\ell^1$-泛函实现的稀疏扰动，表明该范数的 Gateaux 导数结构阻止了对任何有限余维子空间的最小距离投影的存在，从而为伊万·辛格长期存在的一个猜想提供了反例。

ABSTRACT

The classical theorem of Bishop-Phelps asserts that, for a Banach space X, the norm-achieving functionals in X* are dense in X*. Bela Bollobas's extension of the theorem gives a quantitative description of just how dense the norm-achieving functionals have to be: if (x,f) is in X x X* with ||x||=||f||=1 and |1-f(x)|< h^2/4 then there are (x',f') in X x X* with ||x'||= ||f'||=1, ||x-x'||, ||f-f'||< h and f'(x')=1. This means that there are always "proximinal" hyperplanes H in X (a nonempty subset E of a metric space is said to be "proximinal" if, for x not in E, the distance d(x,E) is always achieved - there is always an e in E with d(x,E)=d(x,e)); for if H= ker f (f in X*) then it is easy to see that H is proximinal if and only if f is norm-achieving. Indeed the set of proximinal hyperplanes H is, in the appropriate sense, dense in the set of all closed hyperplanes H in X. Quite a long time ago [Problem 2.1 in his monograph "The Theory of Best approximation and Functional Analysis" Regional Conference series in Applied Mathematics, SIAM, 1974], Ivan Singer asked if this result generalized to closed subspaces of finite codimension - if every Banach space has a proximinal subspace of codimension 2, for example. In this paper I show that there is a Banach space X such that X has no proximinal subspace of finite codimension n>1. So we have a converse to Bishop-Phelps-Bollobas: a dense set of proximinal hyperplanes can always be found, but proximinal subspaces of larger, finite codimension need not be.

研究动机与目标

• 解决伊万·辛格长期提出的关于巴拿赫空间中有限余维子空间可逼近性存在的开放性问题。
• 证明尽管根据 Bishop-Phelps-Bollobás 定理，可逼近超平面（余维数 1）总是稠密的，但该结论在余维数 ≥2 时不再成立。
• 构造一个特定的巴拿赫空间 $(c_0, \|\cdot\|)$，其范数非标准，能阻止余维数 ≥2 时的可逼近性。
• 表明该范数的几何与解析结构——基于稀疏且有理的扰动——阻止了对有限余维子空间的最小投影的存在。
• 在可逼近超平面的稠密性与高余维数下此类子空间的不存在性之间建立鲜明对比。

提出的方法

• 通过在 $c_0$ 上添加加权 $\ell^1$-半范数来定义新范数：$\|x\| = \|x\|_0 + \sum_{k=1}^\infty 2^{-a_k^2} |\langle x, u_k - e_{a_k} \rangle|$，其中 $u_k \in c_{00}(\mathbb{Q})$ 且 $a_k$ 满足增长条件。
• 确保扰动项稀疏且快速增长，使得 $\|x\| \leq 3\|x\|_0$，从而在保持 $c_0$ 结构的同时引入方向性非光滑性。
• 利用 Gateaux 导数分析研究范数的可微性，并利用在有限余维子空间中点处的方向光滑性缺失。
• 构造有限个泛函 $\psi_r$，并通过 $\ell^1$-元素 $z_r$ 近似，以在候选最小向量的内积上诱导符号模式。
• 应用商映射 $\theta: \Phi_0 \to \ell^\infty(A)/c_0(A)$ 分析泛函空间 $\Phi_0$ 的像，证明其必须包含 $N+1$ 个线性无关向量。
• 通过证明 $\dim \theta\Phi_0 \geq N+1$ 而 $\dim \Phi_0 = N$ 导出矛盾，从而证明不存在余维数 $N \geq 2$ 的此类可逼近子空间 $H$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个巴拿赫空间是否都存在有限余维数 $n \geq 2$ 的可逼近子空间？
• RQ2 经典的可逼近超平面稠密性结果（Bishop-Phelps-Bollobás）能否推广到更高余维数？
• RQ3 是否存在一个巴拿赫空间，其中没有任何余维数 $n \geq 2$ 的有限余维子空间是可逼近的？
• RQ4 何种范数的结构性质会阻止有限余维数下的可逼近性？
• RQ5 对 $c_0$ 范数进行非光滑且稀疏的扰动，是否能阻止余维数超过 1 时的可逼近性？

主要发现

• 所构造的巴拿赫空间 $(c_0, \|\cdot\|)$ 在有限余维数 $n \geq 2$ 时不存在可逼近子空间，为辛格猜想提供了反例。
• 该范数通过在稀疏且快速增长的序列 $a_k$ 上求和 $\ell^1$-半范数来定义，确保 $\|x\| \leq 3\|x\|_0$。
• 该范数的 Gateaux 导数在有限余维子空间中的点处以受控方式不存在，从而阻止了最小投影的存在。
• 泛函空间 $\Phi_0$ 在商映射 $\theta$ 下的像的维数至少为 $N+1$，与 $\dim \Phi = N$ 矛盾。
• 与近似泛函 $z_r$ 的内积符号模式在 $\mathbb{R}^{N+1}$ 中生成了 $N+1$ 个线性无关向量，从而导致矛盾。
• 该结果确立了鲜明的二分性：可逼近超平面总是稠密，但对余维数 ≥2 不存在此类保证。