[论文解读] Banach Symmetric Spaces

Michael Klotz|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过证明李三系系统同态可在满足切映射交换挠率与曲率的条件下，唯一地积分化为1-连通且测地完备的仿射巴拿赫流形之间的仿射映射，从而建立了巴拿赫对称空间的李理论。此外，本文进一步表明，连通巴拿赫对称空间的自同构群是一个巴拿赫-李群，其作用光滑且传递，使该空间成为巴拿赫齐性空间 $ M \cong G/G_b $。

ABSTRACT

A Banach symmetric space in the sense of O. Loos is a smooth Banach manifold $M$ endowed with a multiplication map $μ\colon M imes M o M$ such that each left multiplication map $μ_x := μ(x,\cdot)$ (with $x \in M$) is an involutive automorphism of $(M,μ)$ with the isolated fixed point $x$. We show that morphisms of Lie triple systems of symmetric spaces can be uniquely integrated provided the first manifold is 1-connected. The problem is attacked by showing that a continuous linear map between tangent spaces of affine Banach manifolds with parallel torsion and curvature is integrable to an affine map if it intertwines the torsion and curvature tensors provided the first manifold is 1-connected and the second one is geodesically complete. Further, we show that the automorphism group of a connected Banach symmetric space $M$ can be turned into a Banach-Lie group acting smoothly and transitively on $M$. In particular, $M$ is a Banach homogeneous space.

研究动机与目标

• 将经典对称空间理论推广至无限维巴拿赫设定。
• 解决巴拿赫范畴中李三系系统同态的可积性问题。
• 证明连通巴拿赫对称空间的自同构群自然构成一个巴拿赫-李群。
• 将卡坦-安布罗斯-希克斯定理推广至具有平行挠率与曲率的仿射巴拿赫流形。
• 通过巴拿赫-李群作用确立巴拿赫对称空间为齐性空间。

提出的方法

• 将卡坦-安布罗斯-希克斯定理适配至具有平行挠率与曲率的仿射巴拿赫流形。
• 使用分段测地线延拓方法，将切空间同态的局部仿射映射全局积分化。
• 应用映射图的技巧，在乘积流形中构造仿射子流形。
• 通过导子的积分化，构造对称空间的自同构群为巴拿赫-李群。
• 利用泛函 $ \operatorname{ev}_b: \operatorname{Der}(M,\mu) \to T_bM $ 证明子代数的闭性与拓扑结构。
• 利用共轭映射 $ c_{\mu_b}(g) = \mu_b \circ g \circ \mu_b $ 在自同构群上定义对合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将与巴拿赫对称空间相关的李三系系统同态唯一地积分化为仿射映射？
• RQ2 在何种条件下，两个仿射巴拿赫流形切空间之间的连续线性映射可积分为一个仿射映射？
• RQ3 连通巴拿赫对称空间的自同构群是否自然构成一个巴拿赫-李群？
• RQ4 当模型为非紧或无限维时，卡坦-安布罗斯-希克斯定理在巴拿赫设定下如何推广？
• RQ5 能否为具有巴拿赫-李群作用的巴拿赫对称空间建立齐性空间结构 $ M \cong G/G_b $？

主要发现

• 若 $ M_1 $ 为1-连通且 $ M_2 $ 为测地完备，则具有平行挠率与曲率的仿射巴拿赫流形 $ M_1 $ 与 $ M_2 $ 之间切空间的连续线性映射 $ A: T_{b_1}M_1 \to T_{b_2}M_2 $ 可唯一地积分化为一个仿射映射 $ f: M_1 \to M_2 $。
• 若定义域流形为1-连通，则对称空间的李三系系统同态可被唯一积分化。
• 连通巴拿赫对称空间 $ M $ 的自同构群 $ \operatorname{Aut}(M,\mu) $ 是一个巴拿赫-李群，其在 $ M $ 上作用光滑且传递。
• 空间 $ M $ 同构于齐性空间 $ G/G_b $，其中 $ G = \operatorname{Aut}(M,\mu) $，$ G_b $ 为某点 $ b \in M $ 的稳定化子。
• 泛函 $ \operatorname{ev}_b: \operatorname{Der}(M,\mu) \to T_bM $ 连续，且导代数分解 $ \operatorname{Der}(M,\mu) = \operatorname{Der}(M,\mu)_+ \oplus \operatorname{Der}(M,\mu)_- $ 为巴拿赫空间的直和。
• 轨道映射 $ \tau_b: \operatorname{Aut}(M,\mu) \to M $，$ g \mapsto g(b) $，为一个子mersion，确保商映射 $ \Phi: G/G_b \to M $ 为微分同胚。