[论文解读] Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows

Fréderic Faure, Masato Tsujii|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文为接触型Anosov流的Ruelle-Pollicott共振建立了能带结构，表明当|Im z| → ∞时，特征值在复平面上聚集成垂直的能带。第一能带集中在阻尼函数 D = V − ½ div X|Eᵤ 的空间平均附近，从而可通过共振密度的Weyl定律，对动力相关函数进行渐近展开。

ABSTRACT

If X is a contact Anosov vector field on a smooth compact manifold M and V is a smooth function on M, it is known that the differential operator A=-X+V has some discrete spectrum called Ruelle-Pollicott resonances in specific Sobolev spaces. We show that for |Im(z)| large the eigenvalues of A are restricted to vertical bands and in the gaps between the bands, the resolvent of A is bounded uniformly with respect to |Im(z)|. In each isolated band the density of eigenvalues is given by the Weyl law. In the first band, most of the eigenvalues concentrate of the vertical line Re(z)=< D >, the space average of the function D(x)=V(x)-1/2 div(X)/E_u where Eu is the unstable distribution. This band spectrum gives an asymptotic expansion for dynamical correlation functions.

研究动机与目标

• 在先前渐近界的基础上，进一步细化接触型Anosov流的Ruelle-Pollicott共振的谱描述。
• 在Sobolev空间中，为算子 A = −X + V 的离散谱在复平面上建立能带结构。
• 确定每个谱带内特征值的分布与密度，特别是第一能带中的分布。
• 将谱能带结构与动力相关函数的渐近行为联系起来。
• 证明第一能带中的特征值由于遍历性而聚集在阻尼函数 D = V − ½ div X|Eᵤ 的空间平均附近。

提出的方法

• 使用微局部分析，并在尺度 ħ^{1/2−ε} 上构造单位分解，以分解靠近陷阱集 K 的流。
• 利用与横截于 K 的分裂 E_u^(2) ⊕ E_s^(2) 相适应的微局部逃逸函数，构造各向异性Sobolev空间 H_C。
• 将转移算子 F_t = e^{tA} 分解为张量积形式：在 T_ρK 上为酉算子，在 (T_ρK)^⊥ 上为阻尼算子。
• 为每个能带 k 定义局部谱投影算子 Π_k，基于阻尼部分的离散谱。
• 将局部投影算子全局拼接，为每个能带 B_k 构造谱算子。
• 通过限制算子 Π_k 的谱估计，推导出能带位置 γ_k^±。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 |Im z| → ∞ 时，接触型Anosov流的Ruelle-Pollicott谱在复平面上如何结构化？
• RQ2 复平面上谱带的位置与宽度由什么决定？
• RQ3 每个谱带中特征值密度的渐近行为如何？
• RQ4 为何第一能带中的大多数特征值聚集在直线 Re(z) = ⟨D⟩_M 上？
• RQ5 能否利用能带结构推导出动力相关函数的渐近展开式？

主要发现

• 算子 A = −X + V 的Ruelle-Pollicott谱包含于一系列垂直能带 B_k = {z ∈ ℂ : Re(z) ∈ [γ_k^−, γ_k^+]} 的并集中，其中 γ_k^± 由阻尼函数 D 的时间平均的上确界与下确界显式给出。
• 在每个孤立能带 B_k 中，虚部位于 [b, b + b^ε] 内的特征值数量满足 N(b) ≍ |b|^d（当 b → ∞ 时），其中 dim M = 2d + 1，从而证实了Weyl定律。
• 在第一能带 B_0 中，大多数特征值集中在垂直直线 Re(z) = ⟨D⟩_M 上，即阻尼函数 D = V − ½ div X|Eᵤ 的空间平均，这是由于遍历性所致。
• 在孤立能带之间，算子 A 的预解算子关于 |Im z| 一致有界，表明存在谱间隙。
• 动力相关函数的渐近行为由第一能带 B_0 内的无限离散谱所主导。
• 本结果推广了阻尼波动方程的谱理论，并扩展了先前关于接触型Anosov系统中Ruelle共振的研究。