[论文解读] Bands of pure a.c. spectrum for lattice Schr{\"o}dinger operators with a more general long range condition. Part I

Sylvain Golénia, Marc-Adrien Mandich|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文通过共轭算子方法与Mourre理论，将限制吸收原理（LAP）推广至ℓ²(ℤ^d)上具有广义长程势条件的离散Schrödinger算子。在d = 1, 2, 3维下，对标准拉普拉斯算子∆与Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D，证明了在势函数沿各坐标方向平移κ单位后衰减的条件下，存在具有纯绝对连续（a.c.）谱的谱带。对于小κ值（如κ = 1, 2, 4, 6, 8），明确识别出这些谱带。

ABSTRACT

Commutator methods are applied to get limiting absorption principles for the discrete standard and Molchanov-Vainberg Schr\"odinger operators $H_{\mathrm{std}}= \Delta+V$ and $H_{\mathrm{MV}} = D+V$ on $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$, with emphasis on $d=1,2,3$. Considered are electric potentials $V$ satisfying a long range condition of the type: $V- au_j ^{\kappa}V$ decays appropriately for some $\kappa \in \mathbb{N}$ and all $1 \leq j \leq d$, where $ au_j ^{\kappa} V$ is the potential shifted by $\kappa$ units on the $j^{ ext{th}}$ coordinate. More comprehensive results are obtained for specific small values of $\kappa$, such as $\kappa =1,2,3,4$. In this article, we work in a simplified framework in which the main takeaway appears to be the existence of bands where a limiting absorption principle holds, and hence absolutely continuous (a.c.) spectrum, for $\kappa>1$ and $\Delta$ (resp.\ $\kappa>2$ and $D$). Other decay conditions for $V$ arise from an isomorphism between $\Delta$ and $D$ in dimension 2. Oscillating potentials are natural examples in application.

研究动机与目标

• 将限制吸收原理（LAP）推广至ℓ²(ℤ^d)上具有更广义长程势条件的离散Schrödinger算子，超越标准衰减假设。
• 在d = 1, 2, 3维下，建立标准拉普拉斯算子∆与Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D的谱带中存在纯绝对连续（a.c.）谱的存在性。
• 分析在长程条件中增加平移参数κ的影响，特别是对小κ值时的情况。
• 探讨d = 2维下标准拉普拉斯算子∆与Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D之间的同构关系，从而实现在两个算子间传递结果。
• 提供严格与数值证据，表明在某些谱带中严格Mourre估计成立，从而排除奇异连续谱的存在。

提出的方法

• 应用对易方法与Mourre理论，推导离散Schrödinger算子H = ∆ + V与H = D + V的限制吸收原理（LAP）。
• 引入广义长程条件：对每个坐标j，差值(V − τ^κ_j V)在无穷远处衰减为O(g(|n|))，其中g为在无穷远处趋于零的径向函数。
• 通过平移τ^κ_j构造共轭算子A^κ，建立Mourre估计，关键条件为在特定谱区域上，[H, iA^κ]的正定性。
• 使用比值检验与中心带检验，验证在d = 2与d = 3维下，对多种κ值（如κ = 4, 6, 8）的严格Mourre估计。
• 利用d = 2维下标准拉普拉斯算子∆与Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D之间的同构关系，将结果从一个算子传递到另一个。
• 结合数值证据与猜想的闭式表达式（如含sin²(π/κ)的表达式），识别出Mourre估计成立的谱带，尤其针对d = 2与d = 3维下的D算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足V − τ^κ_j V = O(g(|n|))的广义长程势的离散Schrödinger算子H = D + V，哪些谱能量满足严格Mourre估计？
• RQ2 在长程条件中增加平移参数κ，如何影响具有纯绝对连续谱的谱带的大小与位置？
• RQ3 在d = 2维下，∆与D之间的同构关系在传递谱结果方面起什么作用？
• RQ4 在广义长程条件下，能否为d = 2与d = 3维下的Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D建立限制吸收原理？
• RQ5 D（与∆）谱中Mourre估计成立的显式谱带是什么？对于小κ值，能否以闭式表达？

主要发现

• 在d = 1维下，标准拉普拉斯算子∆在区间(−d, d) ∵ {−d + 2l : l = 0, ..., d}上满足严格Mourre估计，意味着在基底条件（κ = 1，g(|n|) = |n|^−ε）下该集合上存在纯a.c.谱。
• 在d = 2维下，Molchanov-Vainberg拉普拉斯算子D在(0, 1)内多个谱带上满足Mourre估计，例如κ = 4时为(0, 0.5) ∪ (0.707, 1)，κ = 6时为(0, 0.25) ∪ (0.506, 0.75) ∪ (0.866, 1)。
• 在d = 3维下，当D的κ = 8时，Mourre估计在(0, 0.0560) ∪ (0.7187, 0.7886) ∪ (0.9238, 1)上成立，更高κ值下也出现类似谱带。
• 在d = 2维下，当κ = 10时，D的谱带为(0, 0.0955) ∪ (0.3103, 0.3455) ∪ (0.5878, 0.6545) ∪ (0.8126, 0.9045) ∪ (0.9511, 1)，表明随着κ增大，谱带出现更多碎片化。
• 本文提供数值证据表明，在d = 3维下，当κ = (2,2,1)、(2,2,3)或(2,2,5)时，D不满足Mourre估计，表明谱带对κ的选择极为敏感。
• 在d = 2维下，当κ = 12时，D的谱带为(0, 0.0670) ∪ (0.7071, 0.7500) ∪ (0.8687, 0.9330) ∪ (0.9659, 1)，当κ = 18时为(0, 0.0302) ∪ (0.8660, 0.8830) ∪ (0.9410, 0.9698) ∪ (0.9848, 1)，表明随着κ增大，谱带趋近于整个区间(0,1)。