[论文解读] Bandwidth Parameterized by Cluster Vertex Deletion Number

Tatsuya Gima, Eun Jung Kim+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

该论文证明了当以聚类顶点删去数加上团数为参数时，带宽问题为固定参数可满足（FPT），而当仅以聚类顶点删去数为参数时，该问题仍为 W[1]-难。作者通过约化至一元二分背包问题，利用团的结构特性和顶点排序性质，确立了参数化复杂度的边界。

ABSTRACT

Given a graph G and an integer b, Bandwidth asks whether there exists a bijection π from V(G) to {1, …, |V(G)|} such that max_{{u, v} ∈ E(G)} | π(u) - π(v) | ≤ b. This is a classical NP-complete problem, known to remain NP-complete even on very restricted classes of graphs, such as trees of maximum degree 3 and caterpillars of hair length 3. In the realm of parameterized complexity, these results imply that the problem remains NP-hard on graphs of bounded pathwidth, while it is additionally known to be W[1]-hard when parameterized by the treedepth of the input graph. In contrast, the problem does become FPT when parameterized by the vertex cover number of the input graph. In this paper, we make progress towards the parameterized (in)tractability of Bandwidth. We first show that it is FPT when parameterized by the cluster vertex deletion number cvd plus the clique number ω of the input graph, thus generalizing the previously mentioned result for vertex cover. On the other hand, we show that Bandwidth is W[1]-hard when parameterized only by cvd. Our results generalize some of the previous results and narrow some of the complexity gaps.

研究动机与目标

• 研究带宽问题在以聚类顶点删去数为参数时的参数化复杂度。
• 确定当将聚类顶点删去数与团数结合时，问题是否变得可 tractable。
• 通过与顶点覆盖和树深度等已知参数的比较，澄清可 tractable 与不可 tractable 参数化之间的复杂度差距。
• 将先前针对顶点覆盖数的 FPT 结果推广至更一般的参数——聚类顶点删去数。
• 探索带宽问题在结构参数化方面的极限，特别是与团结构及顶点排序约束的关系。

提出的方法

• 从一元二分背包问题约化，以构建具有受控顶点排序约束的带宽实例。
• 构造一个图，包含物品团、辅助顶点以及基于带宽界限强制拉伸约束的边。
• 使用顶点集 S 和 S' 将物品团的顶点划分到由聚类顶点定义的区间中，确保排序的一致性。
• 通过归纳法证明集合 Si 和 S′i 恰好对应于给定区间内物品团的顶点，从而将其与有效的二分划分联系起来。
• 定义聚类顶点删去集 S，以确保 G−S 为若干团的不相交并集，且 |S| = O(k)，从而控制参数大小。
• 证明带宽被限制为 b 当且仅当对应的 一元二分背包 实例为 YES 实例，从而确立 FPT 结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以聚类顶点删去数加团数为参数时，带宽问题是否为 FPT？
• RQ2 当仅以聚类顶点删去数为参数时，该问题是否仍为 W[1]-难？
• RQ3 能否将顶点覆盖数的 FPT 结果推广至更一般的聚类顶点删去数参数？
• RQ4 在结构图参数方面，带宽问题的可 tractable 与不可 tractable 参数化之间的精确边界是什么？
• RQ5 当以聚类顶点删去数或树深度为参数时，带宽问题是否属于 XP 类？

主要发现

• 当以聚类顶点删去数与团数之和为参数时，带宽问题为 FPT，显著推广了针对顶点覆盖数的 FPT 结果。
• 当仅以聚类顶点删去数为参数时，该问题为 W[1]-难，表明团数的加入对可 tractability 至关重要。
• 所构造图的聚类顶点删去数为 O(k)，其中 k 为一元二分背包实例中的箱子数量，确保了参数的有界性。
• 从一元二分背包问题到带宽问题的约化保持了解的结构：一个有效的二分划分恰好对应一个有效的带宽排序。
• 证明表明，顶点集 Si 和 S′i 精确地将左、右两侧的物品团顶点按箱子分配进行划分，从而确保约化的正确性。
• 作者缩小了顶点覆盖、聚类顶点删去数与树深度等参数之间的复杂度差距，明确了可 tractability 的终点与不可 tractability 的起点。