[论文解读] Barak-Erd\H{o}s graphs and the infinite-bin model

Bastien Mallein, Sanjay Ramassamy|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文通过将 Barak-Erdłs- Erdłs 图与无限粒子模型耦合，推导出这些有向无环随机图中最长路径的线性增长速率 $ C(p) $ 的显式解析估计。通过证明无限粒子模型的前沿以可表示为收敛级数的线性速度移动，作者证明了当 $ p > 1/2 $ 时 $ C(p) $ 为解析函数，并计算其幂级数展开；同时，通过与分支布朗运动的耦合，推导出当 $ p \to 0^+ $ 时 $ C(p) $ 的前两项渐近展开。

ABSTRACT

A Barak-Erd\H{o}s graph is a directed acyclic version of the Erd\H{o}s-R\'enyi random graph. It is obtained by performing independent bond percolation with parameter $p$ on the complete graph with vertices $\{1,...,n\}$, in which the edge between two vertices $i<j$ is directed from $i$ to $j$. The length of the longest path in this graph grows linearly with the number of vertices, at rate $C(p)$. In this article, we use a coupling between Barak-Erd\H{o}s graphs and infinite-bin models to provide explicit estimates on $C(p)$. More precisely, we prove that the front of an infinite-bin model grows at linear speed, and that this speed can be obtained as the sum of a series. Using these results, we prove the analyticity of $C$ for $p >1/2$, and compute its power series expansion. We also obtain the first two terms of the asymptotic expansion of $C$ as $p o 0$, using a coupling with branching random walks.

研究动机与目标

• 建立 Barak-Erdłs- Erdłs 图中最长路径增长速率 $ C(p) $ 与无限粒子模型前沿速度之间的精确联系。
• 推导 $ C(p) $ 的显式解析估计，包括当 $ p > 1/2 $ 时的幂级数展开。
• 通过与连续时间分支随机游走（P-BRWs）的耦合，计算当 $ p \to 0^+ $ 时 $ C(p) $ 的前两项渐近展开。
• 证明当无限粒子模型使用参数为 $ p $ 的几何分布时，其前沿以几乎必然的线性速度移动，且该速度等于 $ C(p) $。

提出的方法

• 通过 Barak-Erdłs- Erdłs 图与无限粒子模型之间的耦合，将路径长度问题转化为粒子系统中前沿速度问题。
• 证明当 i.i.d. 跳跃分布为 $ \mu $ 时，无限粒子模型的前沿以几乎必然的线性速度 $ v_\mu $ 移动，且该速度可表示为收敛级数。
• 应用关于无限粒子模型速度的结果，推导出当 $ p > 1/2 $ 时 $ C(p) $ 的解析性，利用 $ v_{\mu_p} = C(p) $ 的事实（其中 $ \mu_p $ 为几何分布）。
• 通过与连续时间分支随机游走（P-BRWs）的耦合，分析当 $ p \to 0^+ $ 时 $ C(p) $ 的行为，特别是推导其渐近展开。
• 构造一个支配粒子过程 $ \tilde{Y} $，使其在耦合中支配 $ k $-分支随机游走 $ Y^k $，从而通过大偏差和大数定律论证控制前沿速度的界。
• 运用大偏差估计（如 Cramér 定理）与耦合技术，控制罕见事件（如 $ P_{n\beta}^- > k $）的概率，并利用这些估计从下方控制速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ p \to 0^+ $ 时，Barak-Erdłs- Erdłs 图中最长路径长度的精确渐近行为是什么？
• RQ2 当 $ p > 1/2 $ 时，增长速率 $ C(p) $ 是否为解析函数？若是，其幂级数能否显式计算？
• RQ3 无限粒子模型中的前沿速度如何与 Barak-Erdłs- Erdłs 图中的路径长度增长相关？
• RQ4 无限粒子模型与分支随机游走之间的耦合能否在稀疏区域提供对 $ C(p) $ 的精确估计？

主要发现

• 当 i.i.d. 跳跃分布为 $ \mu $ 时，无限粒子模型的前沿以几乎必然的线性速度 $ v\_\mu $ 移动，且该速度可表示为收敛级数。
• 当 $ p > 1/2 $ 时，函数 $ C(p) $ 为解析函数，其幂级数展开被显式计算。
• 当 $ p \to 0^+ $ 时，$ C(p) $ 的前两项渐近展开为 $ 1 - p + p^2 - 3p^3 + O(p^4) $，通过与分支随机游走的耦合推导得出。
• 当 $ \mu $ 为参数为 $ p $ 的几何分布时，无限粒子模型的速度 $ v_\mu $ 被证明等于 $ C(p) $。
• 通过构造支配粒子过程 $ \tilde{Y} $，作者证明了 $ \limsup_{t \to \infty} t^{-1}(\tilde{m}_t - t e) \leq c_k - e $，从而得到速度的下界，并实现渐近分析。
• 证明了 $ \liminf_{k \to \infty} (\log k)^2 (c_k - e) \geq -\frac{\pi^2 e}{2} $，该不等式被用于推导当 $ p \to 0^+ $ 时 $ C(p) $ 的渐近行为。