[论文解读] Barcodes and area-preserving homeomorphisms

Frédéric Le Roux, Sobhan Seyfaddini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 59被引用 13

一句话总结

本文将条形码引入为曲面上保面积同胚的连续动力不变量，将哈密顿弗洛尔理论扩展至光滑微分同胚之外。通过结合条形码理论与勒卡勒夫的横截叶状结构，作者证明了在一大类哈密顿同胚中，带重数的不动点个数是弱共轭不变量，解决了C0辛几何中的一个关键问题。

ABSTRACT

In this paper we use the theory of barcodes as a new tool for studying dynamics of area-preserving homeomorphisms. We will show that the barcode of a Hamiltonian diffeomorphism of a surface depends continuously on the diffeomorphism, and furthermore define barcodes for Hamiltonian homeomorphisms. Our main dynamical application concerns the notion of {\it weak conjugacy}, an equivalence relation which arises naturally in connection to $C^0$ continuous conjugacy invariants of Hamiltonian homeomorphisms. We show that for a large class of Hamiltonian homeomorphisms with a finite number of fixed points, the number of fixed points, counted with multiplicity, is a weak conjugacy invariant. The proof relies, in addition to the theory of barcodes, on techniques from surface dynamics such as Le Calvez's theory of transverse foliations. In our exposition of barcodes and persistence modules, we present a proof of the Isometry Theorem which incorporates Barannikov's theory of simple Morse complexes.

研究动机与目标

• 将条形码理论——此前用于辛拓扑——推广至保面积同胚，其中经典弗洛尔同调不适用。
• 建立条形码在一致收敛下的连续性，使其可作为非光滑动力系统的不变量使用。
• 证明对于具有有限个不动点的哈密顿同胚，带重数的不动点个数在弱共轭下保持不变。
• 利用局部动力系统与横截叶状结构，研究保面积同胚的不动点可光滑化的条件。
• 构造一个不与任何微分同胚弱共轭的哈密顿同胚的例子，证明弱共轭关系的严格性。

提出的方法

• 通过从哈密顿微分同胚的极限过程定义哈密顿同胚的条形码，利用条形码在一致收敛下的连续性。
• 应用巴兰尼科夫的简单莫尔斯复形理论，证明条形码的等距定理，将其与过滤弗洛尔同调联系起来。
• 利用勒卡勒夫的横截叶状结构理论，分析保面积同胚在不动点附近的局部动力系统。
• 将不动点的局部旋转集与邻域补集的端点紧化上的动力系统联系起来。
• 将环形邻域补集的万有覆盖上进行提升，以分析旋转数，并利用其检测不动点的指标。
• 利用商引理与端点理论，将万有覆盖上的动力系统与圆周边界上的动力系统联系起来，从而可应用圆周动力系统工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 条形码能否被推广至经典弗洛尔同调未定义的哈密顿同胚？
• RQ2 哈密顿同胚的条形码是否关于一致拓扑连续？
• RQ3 对于哈密顿同胚，带重数的不动点个数是否在弱共轭下保持不变？
• RQ4 是否存在一个哈密顿同胚，其不与任何微分同胚弱共轭？
• RQ5 保面积同胚的不动点可光滑化的条件是什么？

主要发现

• 哈密顿微分同胚的条形码在一致拓扑下关于微分同胚连续。
• 通过极限过程，条形码在哈密顿同胚上定义良好，将弗洛尔理论不变量扩展至C0情形。
• 对于具有有限个不动点的哈密顿同胚，带重数的总不动点个数是弱共轭不变量。
• 若指标为1且局部旋转集平凡，则不动点为不确定型（既非吸引也非排斥），此结论通过端点动力系统得出。
• 已证明存在一个不与任何微分同胚弱共轭的哈密顿同胚，表明弱共轭严格弱于与微分同胚的共轭关系。
• 指标为1的不动点可光滑化，当且仅当其局部旋转集平凡，且这等价于存在具有梯度型动力系统的横截叶状结构。