[论文解读] Barnich-Troessaert Bracket as a Dirac Bracket on the Covariant Phase Space

Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用 18

一句话总结

本文提出，用于在null无穷远处定义广义相对论中可积电荷的Barnich–Troessaert（BT）括号，自然地作为在通过二级约束移除辐射自由度后的约化协变相空间上定义的Dirac括号而出现。通过将辐射数据视为辅助背景场，所得相空间仅描述引力边缘模式，而BT括号作为Dirac括号出现，附加的通量积分使电荷被移至未来null无穷远处，从而确保了可积性与代数的闭合性。

ABSTRACT

The Barnich--Troessaert bracket is a proposal for a modified Poisson bracket on the covariant phase space for general relativity. The new bracket allows us to compute charges, which are otherwise not integrable. Yet there is a catch. There is a clear prescription for how to evaluate the new bracket for any such charge, but little is known how to extend the bracket to the entire phase space. This is a problem, because not every gravitational observable is also a charge. In this paper, we propose such an extension. The basic idea is to remove the radiative data from the covariant phase space. This requires second-class constraints. Given a few basic assumptions, we show that the resulting Dirac bracket on the constraint surface is nothing but the BT bracket. A heuristic argument is given to show that the resulting constraint surface can only contain gravitational edge modes.

研究动机与目标

• 为了解决由于辐射自由度的存在，导致BMS超平移电荷在协变相空间上不可积的问题。
• 阐明Barnich–Troessaert括号所依赖的相空间结构，该结构并非全相空间上的标准泊松括号。
• 证明BT括号可被理解为在辐射数据被约束为c-数的约化相空间上的Dirac括号。
• 表明约化后的相空间仅描述引力边缘模式，而BT括号捕捉了其辛结构。

提出的方法

• 通过引入二级约束，从协变相空间中移除辐射数据，实际上将它们替换为背景c-数场。
• 对约束系统应用Dirac括号形式化，推导出在约化相空间上的新辛结构。
• 利用预辛二形式ΩM和辐射辛流Jrad定义通量积分Fξ[M→M+]，该积分沿null生成线移动电荷。
• 证明所得Dirac括号在null无穷远处I+的截面C上，与Barnich–Troessaert括号一致，仅相差一个通量修正项。
• 证明通量积分在Dirac括号下可对易，因其仅依赖于辐射模式。
• 建立约化相空间与引力边缘模式（库仑模式）相空间之间的同构关系，其辛结构由Dirac程序继承而来。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定BT括号最初仅对电荷定义，如何将其一致地扩展到整个协变相空间？
• RQ2 BT括号所定义的非退化辛形式所基于的底层相空间结构是什么？
• RQ3 一般Dirac可观测量在BT括号下如何对易？它们在约化相空间上的动力学行为如何？
• RQ4 BT括号能否从具有二级约束的标准哈密顿约束系统中推导出来？
• RQ5 在移除辐射数据后所获得的相空间具有何种物理诠释？

主要发现

• 证明Barnich–Troessaert括号等价于通过二级约束移除辐射数据后的约化相空间上的Dirac括号。
• 所得相空间仅描述引力边缘模式，不包含任何辐射自由度。
• Dirac括号在I+的截面C上重现了BT括号，仅相差一个将电荷移至未来null无穷远处的通量积分。
• 通量积分F[ξ,ξ′][M→M+]仅依赖于辐射模式，并在Dirac括号下可对易，从而保证了代数的一致性。
• 约化相空间上的电荷Q+ξ满足对易关系{Q+ξ, Q+ξ′}* = −Q+[ξ,ξ′]，确认了BMS代数的可积性与闭合性。
• 约化相空间上的辛结构既可通过加入通量修正的BT括号，也可通过Dirac括号获得，提供了两种等价的描述方式。