[论文解读] Barriers in Nonlinear Control Systems with Mixed Constraints

Willem Esterhuizen, Jean Lévine|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2015

Optimization and Variational Analysis被引用 5

一句话总结

本文通过证明障碍可通过涉及Karush-Kuhn-Tucker乘子和广义梯度条件的最小化原理构造，将非线性控制系统中障碍的概念扩展到同时依赖于状态和控制的混合状态与输入约束——即混合约束。关键贡献是针对混合约束下障碍构造的改进最小化原理，通过基于对偶的最大值原理和非光滑设置下的扰动锥分析得到验证。

ABSTRACT

In this paper, we propose an extension to mixed multidimensional constraints of the problem of state and input constrained control introduced in DeDona and Lévine, SIAM J. Control and Optimiz., Vol. 51, 2013, where the admissible set, namely the subset of the state space where the state and input constraints can be satisfied for all times, was studied, with focus on its boundary. The latter may be divided in two parts, one of them being called barrier, a semipermeable surface. We extend this notion of barrier to the mixed case and prove that it can be constructed via a minimum-like principle involving the Karush-Kühn-Tucker multipliers associated to the constraints and a generalised gradient condition at its endpoints.

研究动机与目标

• 将障碍面的概念从纯状态约束和输入约束扩展到同时涉及状态变量和控制变量的混合约束。
• 在混合约束背景下，建立障碍的几何与分析性质，特别是其半渗透性以及其在定义容许集边界中的作用。
• 推导一种适用于混合约束下的障碍构造的类最小化原理，考虑由可测控制和非光滑动力学引起的不连续性。
• 通过针状扰动和扰动锥构造，将[7]中的最大值原理推广至混合约束情形。

提出的方法

• 通过微分方程和可测控制表述具有混合约束的控制系统，确保约束函数 $ g_i(x(t), u(t)) \leq 0 $ 几乎处处成立。
• 应用非光滑分析工具处理由于可测控制导致的约束演化中的不连续性，特别是在障碍端点处的广义梯度条件。
• 引入改进的端点条件 $ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $，替代直观的 $ g_i(x,u) = 0 $，以定义障碍的起始点。
• 利用针状变分构造切向扰动锥，并通过变分方程和KKT条件推导伴随向量 $ \eta^{\bar{u}} $ 和乘子向量 $ \mu^{\bar{u}} $。
• 使用对偶论证表明，障碍在端点处与可达集边界正交，伴随向量作为分离超平面的法向量。
• 通过构造满足约束的可行针状扰动，将[16]中的最大值原理适配至混合约束情形，从而推导出对偶哈密顿函数的极值条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将障碍概念从纯状态和输入约束推广至同时涉及状态和控制变量的混合约束？
• RQ2 在混合约束情形下，障碍端点的正确表征是什么？其与纯约束情形有何不同？
• RQ3 在混合约束下，是否仍可使用类最小化原理来构造障碍？若可，需如何修改以考虑状态与控制的联合依赖性？
• RQ4 如何将最大值原理适配至混合约束设置，特别是如何构造尊重约束结构的扰动锥？
• RQ5 Karush-Kuhn-Tucker乘子和广义梯度在定义障碍的几何结构与构造过程中起什么作用？

主要发现

• 在混合约束情形下，障碍由条件 $ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $ 表征，并在端点处附加广义梯度条件，取代直观的 $ g_i(x,u) = 0 $。
• 障碍满足半渗透性：起始于容许集内部的轨迹无法穿越进入不可行区域，起始于外部的轨迹也无法穿越进入容许区域。
• 障碍构造由类最小化原理支配，即障碍最小化一个包含KKT乘子和约束函数广义梯度的泛函。
• 混合约束情形下的最大值原理通过一个对偶论证建立，伴随向量 $ \eta^{\bar{u}} $ 和乘子向量 $ \mu^{\bar{u}} $ 几乎处处满足哈密顿函数最大化条件。
• 通过尊重混合约束结构的针状变分构造扰动锥，使得可达状态与不可达状态可通过垂直于伴随向量的超平面实现分离。
• 对偶哈密顿函数 $ \mathcal{H}(x,u,\eta,\mu) = \eta^T f(x,u) + \sum_i \mu_i g_i(x,u) $ 沿极值轨迹几乎处处为常数，证实了障碍的最优性结构。