[论文解读] Barycenter technique and the Riemann mapping problem of Escobar

Martin Mayer, Cheikh Birahim Ndiaye|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文解决了维度 $ n \geq 3 $ 的紧致黎曼流形（带边界）的埃斯科瓦我（Escobar）黎曼映射问题的剩余未解情形，证明了每一类此类流形均存在一个共形标量曲率为零、且边界上平均曲率为常数的度量。通过结合陈（Chen）的泡泡技术与代数拓扑方法，对Bahri–Coron的质心技术进行改进，作者利用变分法建立了临界边界值问题解的存在性，从而完成了对 $ n \geq 3 $ 情形的全部分类。关键贡献在于解决了当 $ n \geq 6 $、边界为脐点（umbilic）且Sobolev商为正时的最后未解情形。

ABSTRACT

We solve the remaining cases of the Riemann mapping problem of Escobar. Indeed, performing a suitable scheme of the barycenter technique of Bahri-Coron via the Chen's bubbles, we solve the cases left open after the work of Chen. Thus, combining our work with the ones of Almaraz, Chen, Escobar and Marques we have that every compact Riemannian manifold with boundary of dimension greater or equal than 3 carries a conformal scalar flat metric with constant mean curvature.

研究动机与目标

• 解决维度 $ n \geq 3 $ 的紧致黎曼流形（带边界）的埃斯科瓦我（Escobar）黎曼映射问题的剩余未解情形。
• 证明所有维度 $ n \geq 3 $ 的紧致 $ n $-维流形均存在一个共形标量曲率为零、且边界上平均曲率为常数的度量。
• 完成对阿尔马拉兹（Almaraz）、陈（Chen）、埃斯科瓦我（Escobar）、马尔克斯（Marques）等人先前工作的未解情形的完整分类。
• 通过陈（Chen）的泡泡与代数拓扑方法，应用质心技术，证明临界边界值问题解的存在性。

提出的方法

• 通过引入陈（Chen）的泡泡，改进Bahri–Coron的质心技术，以处理变分框架下的集中现象。
• 利用同调群与Gromov–Witten型图的代数拓扑论证，检测埃斯科瓦我泛函的非平凡临界点。
• 定义合适的形变收缩重合映射，并在边界上点的配置空间之间构造映射 $ f_p(\lambda) $，以分析拓扑度。
• 利用埃斯科瓦我泛函 $ \mathcal{E}_g(u) $ 的临界点理论，该理论等价于求解边界值问题 $ L_g u = 0 $ 在 $ M $ 内，$ B_g u = 2(n-1)u^{n/(n-2)} $ 在 $ \partial M $ 上。
• 将Sobolev商 $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) > 0 $ 作为关键假设，以保证强制性并避免集中退化。
• 通过同调中的交换图检测非平凡的拓扑度，从而证明存在一个极小极大解。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个维度 $ n \geq 3 $ 的紧致黎曼流形（带边界）是否都存在一个共形标量曲率为零、且边界上平均曲率为常数的度量？
• RQ2 在埃斯科瓦我（Escobar）、马尔克斯（Marques）、阿尔马拉兹（Almaraz）和陈（Chen）等人先前工作的基础上，埃斯科瓦我（Escobar）黎曼映射问题的剩余未解情形是什么？
• RQ3 质心技术能否被推广以处理标量曲率问题中常数平均曲率边界非线性项的临界情形？
• RQ4 在何种拓扑与几何条件下，埃斯科瓦我泛函会存在一个正的极小极大解？
• RQ5 当边界为脐点且 $ n \geq 6 $ 时，Sobolev商的正性是否足以保证解的存在性？

主要发现

• 本文证明了每个维度 $ n \geq 3 $ 的紧致黎曼流形（带边界）均存在一个共形标量曲率为零、且边界上平均曲率为常数的度量，从而完全解决了埃斯科瓦我（Escobar）问题。
• 剩余未解情形——特别是 $ n \geq 6 $、边界为脐点且 $ \mathcal{Q}(M,\partial M,g) > 0 $ ——通过质心技术与代数拓扑方法得以解决。
• 在所述条件下，边界值问题 $ L_g u = 0 $ 在 $ M $ 内，$ B_g u = 2(n-1)u^{n/(n-2)} $ 在 $ \partial M $ 上的解的存在性得以确立。
• 该证明依赖于在边界上点的配置空间之间构造一个连续映射，并证明其在同调上的诱导同态非平凡，从而推出临界点的存在性。
• 关键的拓扑输入是同调上诱导映射 $ (f_p(\lambda))_* $ 的非零性，该性质由涉及边界映射与上积结构的交换图论证所导出。
• 该结果完成了由埃斯科瓦我（Escobar）、马尔克斯（Marques）、阿尔马拉兹（Almaraz）和陈（Chen）等人开启的分类工作，表明在脐点情形下，解存在的唯一障碍是Sobolev商的正性。