[论文解读] Barycentric coordinate neighbourhoods in Riemannian manifolds

Ramsay Dyer, Gert Vegter+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文建立了在黎曼流形上，重心坐标从欧氏单纯形邻域到流形上邻域定义微分同胚的定量条件，确保黎曼单纯形是非退化的，且沿共享面精确相交。关键结果是基于曲率和边长约束，推导出重心坐标映射保持单射与光滑性的邻域半径下界。

ABSTRACT

We quantify conditions that ensure that a signed measure on a Riemannian manifold has a well defined centre of mass. We then use this result to quantify the extent of a neighbourhood on which the Riemannian barycentric coordinates of a set of $n+1$ points on an $n$-manifold provide a true coordinate chart, i.e., the barycentric coordinates provide a diffeomorphism between a neighbourhood of a Euclidean simplex, and a neighbourhood containing the points on the manifold.

研究动机与目标

• 确定黎曼流形上重心坐标形成有效坐标图的条件。
• 确保重心坐标映射为微分同胚，从而实现非退化的黎曼单纯形。
• 解决三角剖分中相邻黎曼单纯形之间共享面的几何一致性问题。
• 量化重心坐标映射保持单射与光滑性的邻域大小。

提出的方法

• 使用能量泛函 $ x \mapsto \frac{1}{2} \int d_M(x,y)^2 \, d\mu(y) $ 定义带符号测度的黎曼质心。
• 应用基于曲率的估计（通过 Jacobi 场与比较定理）以确保质心的严格凸性与唯一性。
• 推导出重心坐标映射下距离扭曲的利普希茨型界：$ \left| d_M(b(u),b(w)) - |u-w| \right| \leq \frac{50\Lambda\rho^2}{t^2} |u-w| $。
• 引入尺度因子 $ s \geq \frac{3}{2} $ 以控制映射到流形的欧氏定义域大小。
• 通过常曲率模型空间的比较论证，将重心映射的像控制在半径为 $ \bar{r} = \left(s - \frac{18}{25s}\right)L $ 的测地球内。
• 证明当两个黎曼单纯形共享一个面且满足相同条件时，其交集恰好为共享的黎曼面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，重心坐标映射是从欧氏单纯形邻域到黎曼流形邻域的微分同胚？
• RQ2 重心坐标提供良好定义且单射的坐标系统的最大邻域尺寸为何？
• RQ3 如何保证共享一个面的两个黎曼单纯形的交集恰好为该面？
• RQ4 何种曲率与几何约束可确保带符号测度的质心唯一且位于凸球内部？
• RQ5 能否对重心坐标映射进行统一控制，使其在曲率有界下保持距离扭曲在可控范围内？

主要发现

• 当流形的曲率与边长满足 $ \rho^2 \leq \frac{9t^2}{625s^2\Lambda} $ 时，重心坐标映射在欧氏定义域中半径为 $ sL $ 的邻域上为微分同胚。
• 重心映射的像包含每个顶点为中心、半径为 $ \bar{r} = \left(s - \frac{18}{25s}\right)L $ 的测地球，且当 $ s \geq \frac{3}{2} $ 时有 $ \bar{r} \geq L $。
• 当 $ s = \frac{3}{2} $ 时，重心映射的像包含整个黎曼单纯形，从而确保其非退化。
• 当两个黎曼单纯形共享一个面且满足 $ s = \frac{3}{2} $ 的条件时，其交集恰好为共享的黎曼面。
• 重心坐标映射对距离的扭曲最大为 $ \frac{50\Lambda\rho^2}{t^2} |u-w| $，在曲率有界下确保扭曲可控。
• 共享面恰好是相对顶点的重心坐标为零的点集，且在该公共边界上，映射一致。