[论文解读] Base phi representations and golden mean beta-expansions

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2019

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通過證明黃金比例基表示中自然數的第 k 位數字 1 的位置恰好由涉及黃金比例 φ 的推廣 Beatty 序列給出，從而解決了關於基 φ 展開中兩項長期存在的猜想。利用同態、斐波那契詞以及盧卡斯數的遞歸分解，作者推導出自然數集合的精確公式，使得 d_k(N) = 1，從而揭示了 β-展開與詞語組合學之間的深刻聯繫。

ABSTRACT

In the base phi representation any natural number is written uniquely as a sum powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we give precise expressions for the those natural numbers for which the $k$th digit is 1, proving two conjectures for $k=0,1$. The expressions are all in terms of generalized Beatty sequences.

研究动机与目标

• 解決有關自然數在基 φ 展開中第 0 位與第 1 位小數位置的數字 1 位置的兩個開放猜想。
• 將數字 1 位置的特徵推廣至基 φ 表示中任意固定位置 k ≥ 0。
• 建立基 φ 展開中數字分佈與由黃金比例導出的推廣 Beatty 序列之間的精確聯繫。
• 利用同態與盧卡斯數區間建立遞歸框架，以分析基 φ 展開的結構。

提出的方法

• 在四個字母的字母表上使用斐波那契同態 γ，生成編碼基 φ 展開結構的無限詞。
• 定義形式為 V(n) = p⌊nφ⌋ + qn + r 的推廣 Beatty 序列，其中 φ 為黃金比例，以模擬數字 1 的位置。
• 使用序列上的第一階差分算子 Δ，將數字模式與特定字母表上的斐波那契詞聯繫起來。
• 利用盧卡斯數對區間 [L_{2n+1}+1, L_{2n+2}-1] 進行遞歸分解，以分析數字分佈。
• 證明序列 d_k(N) = 1 對應於字母表 {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 上的斐波那契詞，進而透過引理 2.1 精確特徵化。
• 使用類似的遞歸與同態技術，將分析擴展至奇數 k 和負數 k 位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些自然數 N，其在基 φ 展開中的第 0 位數字 d_0(N) = 1？
• RQ2 對於哪些自然數 N，其在基 φ 展開中的第 1 位數字 d_1(N) = 1？
• RQ3 對於任意固定的 k ≥ 0，數字 d_k(N) = 1 的自然數 N 的集合的精確特徵是什麼？
• RQ4 位置 k 處數字 1 的位置如何與推廣的 Beatty 序列及黃金比例相關？
• RQ5 基 φ 展開的遞歸結構能否完全透過同態與盧卡斯數區間捕捉？

主要发现

• 本文證明了猜想 1：d_0(N) = 1 当且僅當 N = ⌊nφ⌋ + 2n + 1 對某個 n ∈ ℕ 或 N = 1。
• 本文證明了猜想 2：d_1(N) = 1 当且僅當 N = ⌊nφ⌋ + 2n - 1 對某個 n ∈ ℕ。
• 對於任意偶數 k ≥ 0，滿足 d_k(N) = 1 的 N 的集合由 N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r 給出，其中 r ∈ {−L_{2k-1}, −L_{2k-1}+1}，取決於 k。
• 對於任意奇數 k ≥ 1，滿足 d_k(N) = 1 的 N 的集合由 N = L_{2k}⌊nφ⌋ + L_{2k-1}n + r 給出，其中 r ∈ {−L_{2k-1}+1, −L_{2k-1}+2}。
• 位置 k 處數字 1 的分佈對應於字母表 {L_{2k+2}, L_{2k+1}} 上的斐波那契詞，進而可透過推廣的 Beatty 序列實現精確特徵化。
• 對於負數 k，例如 k = −2，d_{-2}(N) = 1 成立當且僅當 N = 4⌊nφ⌋ + 3n + r，其中 r ∈ {2,3,4}，表明該方法可延伸至分數位數位置。