[论文解读] Basic functional properties of certain scale of rearrangement-invariant spaces

Hana Turčinová|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文引入并系统研究了一类新的重排不变空间 $X\langle\alpha\rangle$，其通过涉及 $|f|^\alpha$ 的非线性泛函及其非增重排定义。主要贡献在于当 $X$ 为经典 Lorentz 空间 $\Lambda_q(w)$ 时，对 $X\langle\alpha\rangle$ 的对偶空间给出了完整表征，并在 $q$ 和 $-\alpha$ 的所有参数范围内提供了对偶空间的显式范数公式。结果建立了精确的嵌入关系，并揭示了一条连接 Lebesgue 空间与 Zygmund 空间的新型单参数尺度。

ABSTRACT

Let $X$ be a rearrangement-invariant space over a non-atomic $\sigma$-finite measure space $(\mathscr{R},\mu)$ and let $\alpha\in(0,\infty)$. We define the functional \begin{equation*} \|f\|_{X^{\langle \alpha angle}} = \|((|f|^\alpha)^{**})^{\frac{1}{\alpha}}\|_{\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))}, \end{equation*} in which $f$ is a $\mu$-measurable scalar function defined on $(\mathscr{R},\mu)$ and $\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))$ is the representation space of $X$. We denote by $X^{\langle \alpha angle}$ the collection of all almost everywhere finite functions $f$ such that $\|f\|_{X^{\langle \alpha angle}}$ is finite. These spaces recently surfaced in connection of optimality of target function spaces in general Sobolev embeddings involving upper Ahlfors regular measures. We present a variety of results on these spaces including their basic functional properties, their relations to customary function spaces and mutual embeddings and, in a particular situation, a characterization of their associate structures. We discover a new one-parameter path of function spaces leading from a Lebesgue space to a Zygmund class and we compare it to the classical one.

研究动机与目标

• 研究新定义的重排不变空间尺度 $X\langle\alpha\rangle$（$\alpha \in (0, \infty)$）的基本函数性质。
• 在 $X$ 为经典 Lorentz 空间 $\Lambda_q(w)$ 的特殊情形下，表征 $X\langle\alpha\rangle$ 的对偶空间。
• 建立形如 $X\langle\alpha\rangle$ 的空间之间的精确嵌入关系，并将其与 Lebesgue 空间和 Zygmund 空间等经典函数空间联系起来。
• 在基本函数和权函数 $w$ 的基础上，为对偶空间 $(X\langle\alpha\rangle)'$ 提供完整且显式的范数公式。

提出的方法

• 定义泛函 $\|f\|_{X\langle\alpha\rangle} = \| ((|f|^\alpha)^{**})^{1/\alpha} \|_{X(0, \mu(R))}$，其中 $f^*$ 为非增重排。
• 利用表示空间 $X(0, \mu(R))$ 将 $X$ 的性质传递至 $X\langle\alpha\rangle$。
• 应用对偶泛函与范数理论，特别是利用 $\Gamma_q(w)$ 与 $\Lambda_q(w)$ 空间之间的对偶性。
• 通过变量替换与代换 $h^* = (f^*)^{1/\alpha}$，将对偶范数与 $\Gamma_{q/\alpha}(w)$ 与 $\Lambda_{1/\alpha}(g^*)$ 之间的嵌入算子范数联系起来。
• 借助 Lorentz 空间理论中的已知结果，特别是 [23, 定理 10.3.17]，计算算子范数并推导出显式对偶范数公式。
• 根据参数 $q \in (0,\infty)$ 与 $\alpha \in (0,\infty)$ 的不同，推导出四种不同的对偶范数公式，涵盖 $q \leq 1$ 或 $q > 1$ 以及 $\alpha \leq 1$ 或 $\alpha > 1$ 的所有情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 新重排不变空间 $X\langle\alpha\rangle$ 的基本函数性质是什么？
• RQ2 空间 $X\langle\alpha\rangle$ 与 Lebesgue 空间和 Zygmund 空间等经典函数空间之间有何关系？
• RQ3 当 $X = \Lambda_q(w)$ 时，对偶空间 $(X\langle\alpha\rangle)'$ 的精确结构是什么？
• RQ4 能否在基本函数与权函数 $w$ 的基础上显式计算 $X\langle\alpha\rangle$ 的对偶范数？
• RQ5 不同 $X\langle\alpha\rangle$ 空间之间的嵌入关系如何表现？它们是否为精确嵌入？

主要发现

• 当 $X = \Lambda_q(w)$ 时，对偶空间 $(X\langle\alpha\rangle)'$ 得到了完全表征，且在所有 $q$ 与 $\alpha$ 的情形下均提供了显式范数公式。
• 当 $q \in (0,1]$ 且 $\alpha \in (0,1]$ 时，对偶范数为 $\|g\|_{(X\langle\alpha\rangle)'} = \sup_{t \in (0,b)} \frac{t g^{**}(t)}{\left( \int_0^t w(s)\,ds + t^{q/\alpha} \int_b^t w(s) s^{-q/\alpha} ds \right)^{1/q}}$。
• 当 $q \in (1,\infty)$ 且 $\alpha \in (0,1]$ 时，对偶范数等价于一种涉及 $y^{q' - q'/\alpha} g^{**}(y)$ 上确界的加权 $L^{q'}$-型积分。
• 当 $q \in (0,1]$ 且 $\alpha \in (1,\infty)$ 时，对偶范数等价于一个包含 $t g^{**}(t)$ 与项 $\int_t^b g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s) ds$ 的上确界。
• 当 $q \in (1,\infty)$ 且 $\alpha \in (1,\infty)$ 时，对偶范数等价于一种包含 $t g^{**}(t)$ 与 $g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s)$ 尾部积分的复杂数学表达式的加权 $L^{q'}$-型积分。
• 结果揭示了一条连接 Lebesgue 空间与 Zygmund 空间的新型单参数函数空间尺度，其中 $X\langle\alpha\rangle$ 随着 $\alpha$ 增大，连续地从 $L^q$ 空间过渡至 Zygmund 类。