[论文解读] Basic polynomial invariants, fundamental representations and the Chern class map

Sanghoon Baek, Erhard Neher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过等变陈类映射，精确建立了李理论中基本表示与基本多项式不变量之间的关系，引入了指数 $\tau_i$，用于度量 $S^*(\Lambda)^W$ 无法成为 $\mathbb{Z}$ 上关于 $q_i$ 的多项式环的算术障碍。证明了当 $i \leq 4$ 时，$\tau_i$ 与李代数的 Dynkin 指数一致，并计算出非晶体学系统 $H_2$ 的 $\tau_2 = \sqrt{5}$，从而实现了对扭曲旗流形的 $K$-理论与 Chow 群中挠子群的界限控制。

ABSTRACT

Consider a crystallographic root system together with its Weyl group $W$ acting on the weight lattice $M$. Let $Z[M]^W$ and $S^*(M)^W$ be the $W$-invariant subrings of the integral group ring $Z[M]$ and the symmetric algebra $S^*(M)$ respectively. A celebrated theorem of Chevalley says that $Z[M]^W$ is a polynomial ring over $Z$ in classes of fundamental representations $w_1,...,w_n$ and $S^*(M)^{W}$ over rational numbers is a polynomial ring in basic polynomial invariants $q_1,...,q_n$, where $n$ is the rank. In the present paper we establish and investigate the relationship between $w_i$'s and $q_i$'s over the integers. As an application we provide an annihilator of the torsion part of the 3rd and the 4th quotients of the Grothendieck gamma-filtration on the variety of Borel subgroups of the associated linear algebraic group.

研究动机与目标

• 澄清在 Weyl 群不变子环的语境下，基本表示 $\rho_i$ 与基本多项式不变量 $q_i$ 之间的关系。
• 定义并研究指数 $\tau_i$，用于度量 $S^*(\Lambda)^W$ 无法成为 $\mathbb{Z}$ 上关于 $q_i$ 的多项式环的算术障碍。
• 将该理论应用于控制扭曲旗流形的 Grothendieck $\gamma$-滤子与 Chow 群中的挠子群。
• 计算非晶体学 $H_2$ 根系的 $\tau_2$，揭示其与 $\sqrt{5}$ 相关的几何解释。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}[\Lambda]$ 和 $S^*(\Lambda)$ 上引入 $I$-adic 滤子，并在模 $I^{i+1}$ 的截断上构造一个同构 $\phi_i$。
• 将指数 $\tau_i$ 定义为在 $\phi_i$ 下，$W$-不变部分的第 $i$ 个分次分量的像中系数的最大公因数。
• 利用等变陈类映射 $\phi_i$ 联系旗流形的 $K_0$ 与 $CH^*$，将表示理论与代数几何联系起来。
• 应用 Riemann-Roch 定理与示性类，将 $\gamma$-滤子的商群与 Chow 群联系起来，并推导出挠子群的界限。
• 通过分析基本权的 $W$-轨道及其在 $\mathbb{Z}[\tau]$ 中的对称不变量，计算 $H_2$ 的 $\tau_2$。
• 利用 $\mathbb{Z}[\tau]$ 是欧几里得整环的事实，计算 $\gcd(2+\tau, 2\tau-1) = \sqrt{5}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Z}[\Lambda]$ 与 $S^*(\Lambda)$ 的 $W$-不变子环中，基本表示 $\rho_i$ 与基本多项式不变量 $q_i$ 之间有何关系？
• RQ2 阻止 $S^*(\Lambda)^W$ 成为 $\mathbb{Z}$ 上关于 $q_i$ 的多项式环的算术障碍 $\tau_i$ 是什么？
• RQ3 指数 $\tau_i$ 是否与对应李代数 $\mathfrak{g}$ 的 Dynkin 指数在小的 $i$ 值下一致？
• RQ4 该理论能否推广至非晶体学根系，如 $H_2$？
• RQ5 $H_2$ 的 $\tau_2 = \sqrt{5}$ 是否具有几何或李群论上的解释？

主要发现

• 指数 $\tau_i$ 度量了 $S^*(\Lambda)^W$ 无法成为 $\mathbb{Z}$ 上关于 $q_i$ 的多项式环的失败程度，$\tau_i$ 为 $\phi_i$ 下第 $i$ 个分次分量的像中系数的最大公因数。
• 当 $i \leq 4$ 时，指数 $\tau_i$ 与相应李代数 $\mathfrak{g}$ 的 Dynkin 指数一致。
• 扭曲旗流形 $X$ 的 $\gamma$-滤子商群 $\gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X)$ 中的挠子群在类型 $B_n$ ($n \geq 3$) 与 $D_n$ ($n \geq 4$) 下被 12 消去。
• 若拓扑滤子商映射 $\gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X) \to \tau^4({}_{\xi}X)/\tau^5({}_{\xi}X)$ 是满射，则 $\mathrm{CH}^4({}_{\xi}X)$ 中的 2-挠子群被 8 消去。
• 对于非晶体学根系 $H_2$，第二个指数 $\tau_2$ 为 $\sqrt{5}$，其计算为 $\mathbb{Z}[\tau]$ 中的 $\gcd(2+\tau, 2\tau-1)$，其中 $\tau = (1+\sqrt{5})/2$。
• 等变陈类映射 $\phi_i$ 诱导了截断环 $\mathbb{Z}[\Lambda]/I_m^{i+1}$ 与 $S^*(\Lambda)/I_a^{i+1}$ 之间的同构，其限制给出了 $K_0$ 与 $CH^*$ 上的经典陈类映射 $c_i$。