[论文解读] Basic structures of the covariant canonical formalism for fields based on the De Donder--Weyl theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Oct 31, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文利用 De Donder--Weyl 哈密顿框架，为经典场论发展了一套协变的正则形式化，引入了度数为 $n+1$ 的多辛形式，将辛几何推广至场空间。通过分次泊松括号在微分形式的外代数上建立了 Gerstenhaber 代数结构，场方程通过与 DW 哈密顿量的括号表达，并通过体积形式将该括号与外微分联系起来。

ABSTRACT

We discuss a field theoretical extension of the basic structures of classical analytical mechanics within the framework of the De Donder--Weyl (DW) covariant Hamiltonian formulation. The analogue of the symplectic form is argued to be the {\em polysymplectic} form of degree $(n+1)$, where $n$ is the dimension of space-time, which defines a map between multivector fields or, more generally, graded derivation operators on exterior algebra, and forms of various degrees which play a role of dynamical variables. The Schouten-Nijenhuis bracket on multivector fields induces the graded analogue of the Poisson bracket on forms, which turns the exterior algebra of (horizontal) forms to a Gerstenhaber algebra. The equations of motion are written in terms of the Poisson bracket on forms and it is argued that the bracket with $H\vol$, where $H$ is the DW Hamiltonian function and $\vol$ is the horizontal (i.e. space-time) volume form, is related to the operation of exterior differentiation of forms.

研究动机与目标

• 将经典力学的正则形式化推广至场论，以显式协变的方式实现。
• 解决经典场论在时空协变性下缺乏几何一致的哈密顿表述的问题。
• 引入多辛结构作为哈密顿力学中辛形式的场论类比。
• 在微分形式上定义一个分次泊松括号，使外代数具备 Gerstenhaber 代数结构。
• 通过与 De Donder--Weyl 哈密顿量的泊松括号表述场方程，并将其与外微分联系起来。

提出的方法

• 在场配置空间的喷丛上引入度数为 $n+1$ 的多辛形式，推广经典力学中的辛形式。
• 将多向量场与外微分形式代数上的分次导数算子定义为动力学变量。
• 利用多向量场上的 Schouten-Nijenhuis 括号，诱导出微分形式上的分次泊松括号。
• 构造 De Donder--Weyl 哈密顿量函数 $H$，并将其与横截体积形式 $\vol$ 耦合，以定义演化算子。
• 将运动方程表达为 $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $，将泊松括号与外微分联系起来。
• 证明配备分次泊松括号的形式空间构成一个 Gerstenhaber 代数，推广了经典力学中的泊松代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持时空协变性的同时，将经典力学的正则形式化推广至场论？
• RQ2 哈密顿力学中辛形式的恰当场论类比是什么？
• RQ3 多向量场上的 Schouten-Nijenhuis 括号如何在场论中诱导出微分形式上一致的泊松括号结构？
• RQ4 场方程如何通过涉及 De Donder--Weyl 哈密顿量的括号运算来表述？
• RQ5 在协变场论形式化中，形式上的泊松括号与外微分之间存在何种几何关系？

主要发现

• 度数为 $n+1$ 的多辛形式是协变正则场论中的基本几何结构。
• 通过 Schouten-Nijenhuis 括号诱导的分次泊松括号，外代数的横截形式被赋予了 Gerstenhaber 代数结构。
• 场方程被表述为 $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $，其中 $ \alpha $ 为一个形式，$ d\alpha $ 为其外微分。
• 证明取与 $ H\vol $ 的泊松括号操作等价于形式上的外微分。
• 该形式化提供了经典场论中哈密顿力学的显式协变推广，具有一致的几何基础。
• 该框架通过将演化算子识别为编码时间演化与空间变化的括号运算，统一了动力学与几何的角色。