[论文解读] Basic theory of a class of linear functional differential equations with multiplication delay

Cheng-shi Liu|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了三种新型特殊函数——指数型、余弦型和正弦型函数，以显式求解具有乘法延迟的线性潘多格方程的初值问题。文章建立了在一般点处解的存在性、唯一性及非唯一性条件，通过基于这些函数的级数展开与正交化技术，提供了形式解。

ABSTRACT

By introducing a kind of special functions namely exponent-like function, cosine-like function and sine-like function, we obtain explicitly the basic structures of solutions of initial value problem at the original point for this kind of linear pantograph equations. In particular, we get the complete results on the existence, uniqueness and non-uniqueness of the initial value problems at a general point for the kind of linear pantograph equations.

研究动机与目标

• 为解决具有乘法延迟的线性泛函微分方程（特别是潘多格方程）缺乏显式解结构的问题。
• 解决标准方法（如参数变异法、拉普拉斯变换）在这些方程上失效的根本挑战。
• 阐明初值问题在任意初值点处的解的存在性与唯一性行为，此类行为常与经典常微分方程不同。
• 开发一种系统性框架，利用新型特殊函数显式表示解。
• 将理论扩展至具有潘多格型延迟的边值问题与偏微分方程。

提出的方法

• 引入三种新型特殊函数：指数型、余弦型和正弦型函数，通过无穷级数展开定义，用于建模线性潘多格方程的解。
• 采用分离变量法，将具时变与空变的潘多格型PDE约化为常泛函微分方程。
• 应用Gram-Schmidt过程对非正交的正弦型函数系 $ S_eta( ho_n x) $ 进行正交化，以实现级数展开中系数的计算。
• 利用正交化基函数，推导出具有乘法延迟的热型与波动型潘多格方程在有限与无限区域上的形式解。
• 采用包含 $ E_eta $、$ C_eta $ 与 $ S_eta $ 函数的积分表示，通过广义傅里叶型展开将解表示为初始数据的函数。
• 提出基于指数型函数 $ E_eta $ 的形式傅里叶型与拉普拉斯型变换，尽管其逆变换尚不明确。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始点非原点时，线性潘多格方程初值问题在何种条件下具有唯一解？
• RQ2 线性潘多格方程在具有乘法延迟时，其解能否以初等函数或超几何函数之外的特殊函数表示？
• RQ3 当基函数非正交时，如何系统地计算解的级数展开中的系数？
• RQ4 具有非局部延迟的热型与波动型潘多格方程的解具有何种结构？
• RQ5 能否利用新型特殊函数定义广义积分变换，其可逆性如何？

主要发现

• 初值问题 $ y'(x) = y(eta x) $，$ y(0) = 1 $ 的解由指数型函数 $ E_eta(x) $ 给出，该函数为解析函数，且具有收敛的幂级数表示。
• 对于方程 $ X''(x) = \beta X(\beta^2 x) $，且满足 $ X(0) = X(1) = 0 $，特征值为 $ \beta_n = -\beta \rho_n^2 $，特征函数为 $ X_n(x) = S_\beta(\rho_n x) $，其中 $ \rho_n $ 为超越方程的根。
• 具有乘法延迟的热型潘多格方程 $ u_t = u_{xx} $ 的形式解为 $ u(x,t) = \bigsum_{n=1}^\frown A_n E_\beta(-\beta \rho_n^2 t) S_\beta(\rho_n x) $，其中系数 $ A_n $ 通过Gram-Schmidt正交化方法计算。
• 在区间 $ (0,1) $ 上的波动型潘多格方程，其解可表示为 $ C_\beta(-\rho_m t) $ 与 $ S_\beta(-\rho_m t) $ 的叠加，系数通过正交化基函数从初始数据导出。
• 在无限区间上，解由包含 $ S_\beta $ 与 $ C_\beta $ 函数的双重积分给出，系数由广义积分方程确定。
• 本文指出，尽管可基于 $ E_\beta $ 定义形式傅里叶型与拉普拉斯型变换，但其逆变换尚不明确。