[论文解读] Basins of attraction of automorphisms in C^3

Berit Stensønes, Liz Vivas|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文在 $\mathbb{C}^3$ 上构造了在原点处切于恒等映射的全纯自同构，其吸引域不是单连通的，具体表明此类吸引域可全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$。该构造通过有限次剪切与超剪切的复合来定义一个映射，其动力学行为由 $\mathbb{C}^2$ 上的投影映射控制，其中 Hakim 关于非退化特征方向的理论确保了吸引域全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^2$，并由此提升至 $\mathbb{C}^3$ 中所需的结构。其关键贡献是首次在高维复动力系统中给出了非单连通吸引域的显式例子。

ABSTRACT

In this paper we shall give examples of maps and automorphisms with regions of attraction that are not simply connected.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 3$）中构造全纯自同构，使其吸引域不是单连通的。
• 将已知的一维结果（即吸引域总是单连通的）推广至高维，其中此类拓扑结构不再被保证。
• 证明在 $\mathbb{C}^3$ 中，切于恒等映射的自同构的吸引域可全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$，即一个非单连通区域。
• 提供一种构造性方法，利用剪切与超剪切生成具有受控动力学行为的此类自同构。

提出的方法

• 将映射 $F: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ 定义为有限次剪切与超剪切的复合：$F = \phi_3 \circ \phi_2^{-1} \circ \phi_1^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_1$，其中每个 $\phi_i$ 是 $\mathbb{C}^3$ 上的全纯自同构。
• 使用剪切 $\phi_1(z,t,w) = (z,t,w - zt)$，$\phi_2(z,t,w) = (ze^{aw}, te^{bw}, w)$，以及 $\phi_3(z,t,w) = (z,t,we^{-(a+b+c)zt} + (a+b)z^2t^2)$ 来构造 $F$，其泰勒展开涉及 $\zeta = zt$。
• 证明 $F$ 在原点处切于恒等映射，并保持坐标轴 $zt=0$ 不变，确保 $F(z,0,w) = (z,0,w)$ 且 $F(0,t,w) = (0,t,w)$。
• 定义投影 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ 为 $\pi(z,t,w) = (zt, w)$，使得与 $\mathbb{C}^2$ 上的映射 $G: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 构成交换图，其中 $G$ 是在 $\zeta = zt$ 上的映射，具有非退化特征方向。
• 应用 Hakim 定理：若非退化特征方向的导出方向具有正实部，则其对应的吸引域全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^2$，当 $c > 2a$ 时，该条件对 $G$ 成立。
• 利用 $G$ 的吸引域 $\tilde{\Omega}$ 的全纯双全纯同构 $\phi: \tilde{\Omega} \to \mathbb{C}^2$，定义 $\Psi(z,t,w) = (z, \phi(zt,w))$，从而证明 $\Omega$ 全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 3$）中，全纯自同构的吸引域是否可能不是单连通的，与 $\mathbb{C}^1$ 中的情况不同？
• RQ2 在 $\mathbb{C}^3$ 中，何种动力学条件可使吸引域全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$？
• RQ3 如何构造一个在 $\mathbb{C}^3$ 中切于恒等映射的自同构，使其吸引域具有非平凡拓扑？
• RQ4 是否可将此类构造推广至更高维 $k \geq 3$，以获得全纯双全纯同构于 $(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$ 的吸引域？

主要发现

• 所构造的自同构 $F$ 在 $\mathbb{C}^3$ 中的吸引域 $\Omega$ 全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$，即一个非单连通区域。
• 映射 $F$ 在原点处切于恒等映射，且作为剪切与超剪切的有限复合构造，确保其为全局全纯自同构。
• 投影 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$，$\pi(z,t,w) = (zt,w)$，诱导出 $\mathbb{C}^2$ 上的映射 $G$，其吸引域 $\tilde{\Omega}$ 通过 Hakim 定理全纯双全纯同构于 $\mathbb{C}^2$。
• 映射 $G$ 具有非退化特征方向 $(1,0)$，其导出方向为 $\frac{c - 2a}{2a} > 0$，当 $c > 2a$ 时满足 $\tilde{\Omega} \cong \mathbb{C}^2$ 的条件，该条件可提升至整个吸引域 $\Omega \cong \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$。
• 该构造可推广至 $\mathbb{C}^k$（$k \geq 3$），通过将剪切结构扩展至 $k-1$ 个变量并令 $\zeta = \prod_{i=1}^{k-1} z_i$，得到全纯双全纯同构于 $(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$ 的吸引域。
• 该自同构的特征方向集合为 $k$ 维，且映射为 $0$-临界，即奇异方向集合为 $0$-维，与 Abate 和 Tovena 的分类一致。