[论文解读] Basis shape loci and the positive Grassmannian

Cameron Marcott|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文在Gr(k,n)的Grassmannian中引入了基形轨迹，表明它们仅依赖于底层的横截拟阵，而不依赖于特定的矩阵表示。当拟阵为正拟阵时，该轨迹的闭包即为相应的正拟阵簇，并给出了横截拟阵为正拟阵的充分（且猜想为必要）条件，其在N=4 SYM理论的散射振幅研究中通过amplituhedron和威尔逊环图具有应用。

ABSTRACT

A basis shape locus takes as input data a zero/nonzero pattern in an $n imes k$ matrix, which is equivalent to a presentation of a transversal matroid. The locus is defined as the set of points in the Grassmannian of $k$ planes in $\mathbb{R}^n$ which are the row space of a matrix with the prescribed zero/nonzero pattern. We show that this locus depends only on the transversal matroid, not on the specific presentation. When a transversal matroid is a positroid, the closure of its basis shape locus is the associated positroid variety. We give a sufficient, and conjecturally necessary, condition for when a transversal matroid is a positroid. Finally, we discus applications to two programs for computing scattering amplitudes in $\mathcal{N} = 4$ SYM theory: one trying to prove that projections of certain positroid cells triangulate the amplituhedron, and another using Wilson loop diagrams.

研究动机与目标

• 定义并研究与k×k矩阵中零/非零模式相关的Gr(k,n)中的基形轨迹。
• 证明这些轨迹仅依赖于横截拟阵，而不依赖于特定的矩阵表示。
• 建立横截拟阵为正拟阵的充分（且猜想为必要）条件。
• 将基形轨迹与正拟阵簇联系起来，并与N=4 SYM理论中的散射振幅计算建立关联。
• 阐明在散射振幅背景下威尔逊环图胞腔与正拟阵胞腔之间的等价性。

提出的方法

• 将基形轨迹L(S)定义为具有由系统S指定的零/非零模式的k×n矩阵的行张成空间的集合。
• 引入L(S)的朴素最大维数（nmd）为nmd(S) = -k + Σ|Si|，其来源于缩放和自由参数的评估。
• 证明dim(L(S)) = nmd(S)当且仅当S是横截拟阵B(S)的最小表示。
• 使用行变换和主元法减少冗余参数，并识别最小表示。
• 应用正拟阵理论的结果，表明若B(S)为正拟阵，则L(S)的闭包即为相应的正拟阵簇。
• 建立威尔逊环图与基形轨迹之间的联系，表明一个威尔逊环图的拟阵为正拟阵当且仅当其等价于非交叉图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下横截拟阵会作为基形轨迹的拟阵出现，且在何种条件下其为正拟阵？
• RQ2 在何种条件下基形轨迹的维数等于其朴素最大维数？
• RQ3 基形轨迹与Grassmannian中的正拟阵簇有何关联？
• RQ4 在散射振幅的背景下，威尔逊环图与基形轨迹之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下与威尔逊环图相关的基形轨迹等价于正拟阵胞腔？

主要发现

• 基形轨迹L(S)仅依赖于横截拟阵B(S)，而不依赖于特定的表示S。
• L(S)的维数等于朴素最大维数nmd(S)当且仅当S是B(S)的最小表示。
• 若横截拟阵B(S)为正拟阵，则L(S)的闭包即为相应的正拟阵簇。
• 定理6.3给出了B(S)为正拟阵的充分条件，且猜想其为必要条件。
• 对于威尔逊环图，相关基形轨迹L(P')的维数为3k，且其拟阵为正拟阵当且仅当该图等价于非交叉图。
• 威尔逊环图的基形轨迹的闭包等于相应正拟阵簇的闭包，从而在测度为零的意义上建立了两者之间的等价性。