[论文解读] Batalin-Vilkovisky structure over the Hochschild cohomology ring of a group algebra

Yuming Liu, Guodong Zhou|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文在余链层面上显式实现了群代数的Hochschild上同调环的加法分解，给出了上积、Batalin-Vilkovisky（BV）算子和Gerstenhaber李括号的显式公式，这些公式基于群上同调分量表达。通过使用集合自同伦方法构造比较映射，作者证明了BV结构尊重加法分解，并表明 $ H^*(G,k) $ 嵌入为 $ HH^*(kG) $ 的BV子代数，从而首次实现了对非交换代数——具体而言是 $ \\mathbb{F}_3 $ 上的对称群 $ S_3 $——的BV结构的显式计算。

ABSTRACT

We realize explicitly the well-known additive decomposition of the Hochschild cohomology ring of a group algebra in the elements level. As a result, we describe the cup product, the Batalin-Vilkovisky operator and the Lie bracket in the Hochschild cohomology ring of a group algebra.

研究动机与目标

• 在余链层面上显式实现 $ HH^*(kG) $ 的加法分解 $ \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $，其中 $ X $ 是共轭类代表元的集合。
• 在加法分解的分量中，描述 $ HH^*(kG) $ 中的上积、Batalin-Vilkovisky（BV）算子和Gerstenhaber李括号的表达式。
• 证明BV算子和李括号在分解下限制到各个分量，且 $ H^*(G,k) $ 是 $ HH^*(kG) $ 的BV子代数。
• 计算首个已知的非交换代数的完整BV结构：$ kS_3 $ 在 $ \mathbb{F}_3 $ 上的Hochschild上同调。

提出的方法

• 使用 $ kG $ 的归一化bar分解来定义余链复形 $ \mathcal{H}_x^* $，其指标为共轭类 $ x \in X $，其中 $ \mathcal{H}_x^n $ 由映射到 $ k[g_1\cdots g_n C_x] $ 的余链组成。
• 通过映射 $ \varphi_1 \mapsto \varphi_2(g_1,\dots,g_n) = \varphi_1(g_1,\dots,g_n) g_n^{-1}\cdots g_1^{-1} $，构造 $ \mathcal{H}_x^* $ 与 $ \operatorname{Hom}_{kG}(Bar_*(kG) \otimes_{kG} k, kC_x) $ 之间的显式同构，后者计算 $ H^*(G, kC_x) $。
• 应用集合自同伦方法（来自Le和Zhou，2011）来构造不同分解之间的比较映射，简化了加法分解同构的构造。
• 通过证明分解尊重 $ H^*(G,k) $-模结构，推导出上积的显式公式，其中 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ 作为分次 $ H^*(G,k) $-模。
• 证明BV算子 $ \Delta $ 限制到每个分量 $ H^*(C_G(x), k) $，且 $ H^*(G,k) \subset HH^*(kG) $ 是一个BV子代数。
• 利用推导出的公式，计算了 $ HH^*(\mathbb{F}_3 S_3) $ 的完整BV结构，这是首个对非交换代数完成的此类计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在余链层面上显式实现 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ 的加法分解？
• RQ2 在此分解下，$ HH^*(kG) $ 中的上积、BV算子 $ \Delta $ 和Gerstenhaber李括号的显式公式是什么？
• RQ3 BV算子 $ \Delta $ 是否保持加法分解中的各个分量？$ H^*(G,k) $ 是否为 $ HH^*(kG) $ 的BV子代数？
• RQ4 能否显式计算出非交换群代数的完整BV结构？对于 $ \mathbb{F}_3 S_3 $，其结构是怎样的？

主要发现

• 通过 $ \mathcal{H}_x^* $ 与 $ \operatorname{Hom}_{kG}(Bar_*(kG) \otimes_{kG} k, kC_x) $ 之间的同构，显式实现了 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ 的加法分解。
• $ HH^*(kG) $ 中的上积被描述为分次 $ H^*(G,k) $-模结构，且 $ HH^*(kG) \simeq \bigoplus_{x \in X} H^*(C_G(x), k) $ 作为 $ H^*(G,k) $-模。
• Batalin-Vilkovisky算子 $ \Delta $ 限制到每个分量 $ H^*(C_G(x), k) $，且 $ H^*(G,k) \subset HH^*(kG) $ 是一个BV子代数。
• 首次完成了对非交换代数的完整BV结构的显式计算：$ HH^*(\mathbb{F}_3 S_3) $ 被完整计算，包括 $ \Delta $ 的作用和李括号。
• 集合自同伦方法使得在分解之间构造比较映射的方法更具构造性，简化了加法分解的实现。
• 余链层面上的同构使得所有标准结构——上积、李括号和 $ \Delta $——均可表示为群上同调数据，从而为 $ HH^*(kG) $ 提供了计算框架。