[论文解读] Baxter's inequality for finite predictor coefficients of multivariate long-memory stationary processes

Akihiko Inoue, Yukio Kasahara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 38被引用 3

一句话总结

该论文通过傅里叶系数的谱域表示方法和改进的交替投影技术，建立了长记忆平稳过程有限预测系数的多变量Baxter不等式扩展。它证明了具有共同分数阶差分阶数的q变量FARIMA过程的预测系数和预测误差协方差的收敛速率，首次为具有显式衰减速率的长记忆过程提供了严格意义下的多变量Baxter不等式。

ABSTRACT

For a multivariate stationary process, we develop explicit representations for the finite predictor coefficient matrices, the finite prediction error covariance matrices and the partial autocorrelation function (PACF) in terms of the Fourier coefficients of its phase function in the spectral domain. The derivation is based on a novel alternating projection technique and the use of the forward and backward innovations corresponding to the predictions based on the infinite past and future, respectively. We show that such representations are ideal for studying the rates of convergence of the finite predictor coefficients, prediction error covariances, and the PACF as well as for proving a multivariate version of Baxter's inequality for a multivariate FARIMA process with a common fractional differencing order for all components of the process.

研究动机与目标

• 将Baxter不等式扩展至多变量长记忆平稳过程，其中经典依赖有界谱密度的证明方法失效。
• 在谱域中发展有限预测系数、预测误差协方差矩阵以及偏自相关函数（PACF）的显式表示。
• 建立具有共同分数阶差分阶数的q变量FARIMA过程中预测系数和PACF的收敛速率。
• 通过引入矩阵值相位函数傅里叶系数并采用定制的交替投影方法，解决多变量设置中的非交换性问题。
• 在最小条件下证明多变量Baxter不等式，优于先前的单变量与多变量结果。

提出的方法

• 利用谱域中矩阵值相位函数的傅里叶系数，推导出有限预测系数、预测误差协方差矩阵和PACF的显式表示。
• 提出一种专为多变量过程设计的改进交替投影技术，克服矩阵值AR与MA系数之间的非交换性问题。
• 基于从无限过去和未来进行预测的前向与后向创新过程，推导关键恒等式。
• 将von Neumann的交替投影框架应用于谱域，实现精确的渐近分析。
• 通过利用伽马函数性质和谱条件，对系数序列的范数进行有界，从而建立收敛速率。
• 将结果特化至具有共同分数阶差分阶数d ∈ (0, 1/2)的q变量FARIMA过程，确保显式衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 Baxter不等式能否被推广至谱密度无界的多变量长记忆过程？
• RQ2 多变量FARIMA过程中有限预测系数、预测误差协方差矩阵和PACF的精确收敛速率是什么？
• RQ3 在推导预测系数表示时，如何处理矩阵值AR与MA系数之间的非交换性问题？
• RQ4 何种谱域表示可实现多变量长记忆设定下收敛速率的推导？
• RQ5 能否证明多变量FARIMA过程的有限预测系数以O(n^{-d})的速率收敛至其无限时域对应值，其中d ∈ (0, 1/2)？

主要发现

• 对于d ∈ (0, 1/2)的q变量FARIMA过程，有限预测系数以O(n^{-d})的速率收敛至无限时域系数，如定理6.8所示。
• 预测误差协方差矩阵v_n和ṽ_n随n → ∞以O(n^{-1-d})的速率衰减，衰减速率中包含伽马函数和g(1)^{-1}的显式常数，如定理6.5所述。
• 偏自相关函数α_n在d ∈ (-1/2, 1/2) ⋯ {0}时以O(n^{-1-d})的速率衰减，确立了精确的渐近行为。
• 有限预测系数范数满足lim_{n→∞} n^{1+d} ||φ_n|| = ||c_0 g(1)^{-1}|| / |Γ(-d)|，提供了精确的渐近表达式。
• 对于d ∈ (0, 1/2)的多变量FARIMA过程，Baxter不等式成立，存在常数K使得∑_{j=1}^n ||φ_{n,j} - φ_j|| ≤ K ∑_{j=n+1}^∞ ||φ_j||，如定理6.9所证明。
• 通过时间反转建立了后向Baxter不等式，表明∑_{j=1}^n ||φ̃_{n,j} - φ̃_j|| ≤ K̃ ∑_{j=n+1}^∞ ||φ̃_j||对d ∈ (0, 1/2)成立，证实了收敛行为的对称性。