[论文解读] Bayesian Estimation of Kendall's tau Using a Latent Normal Approach

Johnny van Doorn, Alexander Ly+2 more|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Mar 6, 2017

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种贝叶斯潜在正态方法来估计肯德尔等级相关系数𝜏，通过建模等级数据的二元正态潜在结构，改进了渐近方法。该方法通过MCMC抽样实现𝜏的完整后验推断，相较于渐近近似，能获得更准确、更精确的估计结果——尤其在小样本量或高相关性条件下表现更优。

ABSTRACT

The rank-based association between two variables can be modeled by introducing a latent normal level to ordinal data. We demonstrate how this approach yields Bayesian inference for Kendall's rank correlation coefficient, improving on a recent Bayesian solution from asymptotic properties of the test statistic.

研究动机与目标

• 为解决现有贝叶斯方法在估计肯德尔𝜏时的局限性，特别是其对渐近近似依赖的问题，这些近似在小样本或极端相关值下会失效。
• 开发一种稳健的贝叶斯框架，保留肯德尔𝜏的非参数优势，如对单调变换的不变性及对异常值的稳健性。
• 通过格雷纳关系将潜在相关系数转化为等级相关系数，为肯德尔𝜏提供完全的贝叶斯推断程序。
• 在多种依存结构模型（copula models）和样本量下，评估所提方法相较于现有渐近方法的性能表现。

提出的方法

• 将观测到的等级数据(x, y)视为潜在连续变量(z^x, z^y)的有序表现形式，假设其服从均值为0、方差为1的二元正态分布，相关系数为𝜌。
• 对潜在相关系数𝜌采用均匀先验分布，并应用贝叶斯定理获得联合后验分布P(z^x, z^y, 𝜌 | x, y)。
• 利用MCMC抽样从联合后验分布中抽取样本，基于潜变量和相关系数参数的条件分布进行推导。
• 通过格雷纳关系将后验样本中的潜在相关系数𝜌转换为肯德尔𝜏的后验样本：𝜏 = (2/𝜋) arcsin(𝜌)。
• 引入𝜏的诱导先验分布：p(𝜏) = (𝜋/4) cos(𝜋𝜏/2)，其中𝜏 ∈ (−1, 1)，反映从𝜌的均匀先验到𝜏的变换关系。
• 将潜在正态方法与两种渐近方法进行比较：原始渐近方法（假设方差为1固定）和改进渐近方法（利用观测到的𝜏估计方差）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小样本量（n = 10, 20）和高相关性（𝜏 = 0.7）条件下，潜在正态贝叶斯方法与渐近方法在估计肯德尔𝜏方面表现如何？
• RQ2 当真实依存结构偏离正态性时（如克拉克、谷贝尔或弗兰克族Copula），潜在正态方法是否仍保持准确性？
• RQ3 对𝜏的诱导先验如何影响后验推断？它是否可作为非信息先验的合理替代？
• RQ4 当真实𝜏非零时，渐近方法在多大程度上低估或高估了𝜏的后验方差？
• RQ5 潜在正态方法是否能在保持肯德尔𝜏稳健性的同时，实现完整的贝叶斯推断（包括可信区间和贝叶斯因子）？

主要发现

• 在后验精度和准确性方面，潜在正态方法显著优于两种渐近方法，尤其在n = 10且𝜏 = 0.7时，渐近方法表现出后验方差低估和后验分布范围更宽的问题。
• 在原假设（𝜏 = 0）下，三种方法表现相似，验证了渐近方法中对检验统计量抽样分布方差为1的假设成立。
• 改进的渐近方法通过利用观测到的𝜏来估计抽样方差，相比原始渐近方法缩小了后验区间宽度，但仍受渐近假设限制，且在非零𝜏时存在方差误设问题。
• 潜在正态方法对潜在正态性假设的违反具有鲁棒性，在多种Copula模型（Clayton, Gumbel, Frank, Gaussian）下均保持可靠性能。
• 在低样本量和高𝜏条件下，潜在正态方法的后验中位数比渐近方法更接近𝜏的真实总体值。
• 由𝜌的均匀先验导出的𝜏诱导先验，使𝜏的先验分布非均匀，尤其在极端值附近更具信息量，这与肯德尔𝜏已知的抽样分布特性一致。