[论文解读] Bayesian Inference for partially observed SDEs Driven by Fractional Brownian Motion

Alexandros Beskos, Joseph Dureau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文提出了一种计算高效的贝叶斯推断方法，用于部分观测的由分数布朗运动（fBm）驱动的随机微分方程（SDE），通过Davies和Harte算法进行重参数化，并结合无网格混合蒙特卡洛采样器。该方法实现了对赫斯特参数H的稳定、高维后验推断，实证结果在S&P500/VIX数据中支持H < 1/2，表明存在中等范围依赖性。

ABSTRACT

We consider continuous-time diffusion models driven by fractional Brownian motion. Observations are assumed to possess a non-trivial likelihood given the latent path. Due to the non-Markovianity and high-dimensionality of the latent paths, estimating posterior expectations is a computationally challenging undertaking. We present a reparameterization framework based on the Davies and Harte method for sampling stationary Gaussian processes and use this framework to construct a Markov chain Monte Carlo algorithm that allows computationally efficient Bayesian inference. The Markov chain Monte Carlo algorithm is based on a version of hybrid Monte Carlo that delivers increased efficiency when applied on the high-dimensional latent variables arising in this context. We specify the methodology on a stochastic volatility model allowing for memory in the volatility increments through a fractional specification. The methodology is illustrated on simulated data and on the S&amp;P500/VIX time series and is shown to be effective. Contrary to a long range dependence attribute of such models often assumed in the literature, with Hurst parameter larger than 1/2, the posterior distribution favours values smaller than 1/2, pointing towards medium range dependence.

研究动机与目标

• 解决由分数布朗运动驱动的部分观测SDE中贝叶斯推断的计算挑战，这些SDE是非马氏的，并涉及高维潜在路径。
• 开发一种马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法，确保在时间点数量增加时保持稳定的混合时间，克服非马氏依赖结构和高维路径推断带来的问题。
• 实现对所有参数（包括赫斯特指数H）的完整贝叶斯推断，避免使用最小二乘等非似然方法。
• 构建一种数据增广方案，将潜在的fBm路径视为高维潜变量，其似然函数非平凡地依赖于整个路径。
• 将该方法应用于具有分数阶动态的随机波动率模型，通过H实现波动率增量中的记忆性。

提出的方法

• 使用Davies和Harte算法对分数布朗运动路径进行重参数化，以实现对高斯潜过程的高效采样。
• 应用具有哈密顿形式的混合蒙特卡洛（HMC）算法，联合更新潜路径和参数，确保无网格混合时间。
• 在大小为N的网格上对连续路径进行时间离散化近似，通过数据增广计算后验分布：p(θ, X | Y) ∝ p(Y | X, θ) p(X | θ) p(θ)。
• 实现一种保持目标测度Q_N(x,v) = exp{-H(x,v;M)}的HMC版本，通过确保体积保持性并采用概率方法处理无穷维高斯测度。
• 通过递归应用转移映射推导密度比dQ^(i)/dQ_0，给出速度更新中类似Girsanov变换的显式表达式。
• 利用Cameron–Martin空间理论，确保在∇_zΦ(z,θ) ∈ ℓ₂的假设下，Girsanov校正项有定义且有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当潜路径为无穷维且非马氏时，能否对由分数布朗运动驱动的部分观测SDE实现高效的贝叶斯推断？
• RQ2 在MCMC采样中，如何处理fBm的非马氏依赖结构，而不会导致时间点数量增加时混合时间恶化？
• RQ3 何种重参数化策略能够在贝叶斯推断背景下实现对高维潜fBm路径的稳定高效采样？
• RQ4 当应用于fBm驱动的SDE时，混合蒙特卡洛算法是否能在无穷维状态空间中保持良好的混合特性？
• RQ5 在真实金融数据中，赫斯特参数H的后验推断结果如何？是否支持中等范围或长范围依赖？

主要发现

• 基于Davies和Harte重参数化与混合蒙特卡洛的所提MCMC算法实现了无网格混合时间，确保在时间点数N增加时性能稳定。
• 该方法实现了对所有参数（包括赫斯特指数H）的完整贝叶斯推断，无需依赖非似然估计技术。
• 在随机波动率模型中，H的后验分布倾向于低于1/2的值，表明波动率过程中存在中等范围依赖性。
• 对S&P500/VIX数据的实证分析显示，H < 1/2得到强有力的后验支持，表明波动率增量表现出负自相关性，且衰减慢于指数衰减。
• 理论分析证实，HMC算法通过递归推导密度比dQ^(i)/dQ_0保持目标测度Q_N，对数密度中的抵消项导致定义良好的哈密顿结构。
• 该方法可扩展至具有多个赫斯特参数的高维系统，尽管计算成本相应增加。