[论文解读] Bayesian Inference for Persistent Homology

Vasileios Maroulas, Farzana Nasrin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 53被引用 4

一句话总结

该论文通过将持久图建模为带有限高斯混合先验的标记泊松点过程，建立了一个持久图的贝叶斯框架，利用标记点过程理论实现后验推断；通过材料科学中的分类任务，利用贝叶斯因子验证了该方法，实现了持久同调的首个完整贝叶斯处理。

ABSTRACT

Persistence diagrams offer a way to summarize topological and geometric properties latent in datasets. While several methods have been developed that utilize persistence diagrams in statistical inference, a full Bayesian treatment remains absent. This paper, relying on the theory of point processes, lays the foundation for Bayesian inference with persistence diagrams. We model persistence diagrams as Poisson point processes with prior intensities and compute posterior intensities by adopting techniques from the theory of marked point processes. We then propose a family of conjugate prior intensities via Gaussian mixtures and proceed with a classification application in materials science using Bayes factors.

研究动机与目标

• 开发一个针对持久图的严谨贝叶斯统计框架，持久图是拓扑数据分析中的关键工具。
• 解决尽管持久同调在统计推断中日益广泛应用，但其完整贝叶斯处理仍缺失的问题。
• 将持久图建模为具有结构化先验强度的标记泊松点过程，以实现有原则的后验计算。
• 提出一类使用高斯混合的共轭先验强度，以实现可处理的后验推断。
• 通过材料科学中的真实世界分类任务，利用贝叶斯因子验证该框架。

提出的方法

• 将持久图建模为标记泊松点过程，其中点表示拓扑特征（出生-死亡对），标记表示特征类型。
• 使用高斯混合模型在持久图空间上定义先验强度，以编码对拓扑结构的先验信念。
• 应用标记点过程理论，通过充分统计量将观测数据与先验强度结合，计算后验强度。
• 利用共轭先验（高斯混合）确保后验计算的解析可处理性，实现无需MCMC的精确推断。
• 通过利用高斯混合先验与泊松过程似然之间的共轭性，推导出后验强度函数的闭式表达式。
• 在材料科学分类任务中，利用贝叶斯因子进行模型比较，量化不同拓扑假设的证据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将持久图正式嵌入贝叶斯统计框架中，以支持不确定性量化？
• RQ2 哪类持久图上的先验分布可实现共轭后验更新并保证可处理的推断？
• RQ3 持久同调的贝叶斯方法是否能在真实世界科学应用中提升分类性能？
• RQ4 基于后验强度推导的贝叶斯因子与经典方法相比，在区分材料数据中的拓扑模式方面表现如何？

主要发现

• 该论文成功构建了一个使用标记泊松点过程的持久图完整贝叶斯推断框架。
• 证明了高斯混合先验与持久图上的泊松过程似然共轭，从而实现解析后验计算。
• 后验强度函数以闭式表达，允许无需随机近似的精确推断。
• 该框架应用于材料科学数据集，基于后验强度的贝叶斯因子为不同材料类别之间的拓扑差异提供了强有力证据。
• 结果表明，该贝叶斯方法为复杂数据集中的不确定性量化和拓扑模型比较提供了有原则的途径。