[论文解读] Bayesian Nash Equilibrium in First-Price Auction with Discrete Value Distributions

Weiran Shen, Zihe Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Auction Theory and Applications被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种新颖且高效的算法，用于在具有离散私有价值分布的第一价格拍卖中计算贝叶斯纳什均衡（BNE），避免了解常微分方程（ODE）的需要。该方法在无需分布假设的情况下证明了BNE的存在性与唯一性，相较于连续近似方法，结果更快且更精确，尤其在具有经验价值分布的非对称设置中表现更优。

ABSTRACT

First price auctions are widely used in government contracts and industrial auctions. In this paper, we consider the Bayesian Nash Equilibrium (BNE) in first price auctions with discrete value distributions. We study the characterization of the BNE in the first price auction and provide an algorithm to compute the BNE at the same time. Moreover, we prove the existence and the uniqueness of the BNE. Some of the previous results in the case of continuous value distributions do not apply to the case of discrete value distributions. In the meanwhile, the uniqueness result in discrete case cannot be implied by the uniqueness property in the continuous case. Unlike in the continuous case, we do not need to solve ordinary differential equations and thus do not suffer from the solution errors therein. Compared to the method of using continuous distributions to approximate discrete ones, our experiments show that our algorithm is both faster and more accurate. The results in this paper are derived in the asymmetric independent private values model, which assumes that the buyers' value distributions are common knowledge.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效且稳健的算法，用于计算具有离散价值分布的第一价格拍卖中的贝叶斯纳什均衡（BNE）。
• 在离散情况下建立BNE的存在性与唯一性，且无需对价值分布施加技术性假设，这与以往针对连续情况的结果不同。
• 在离散设置中提供BNE存在性的构造性证明，与依赖纳什定理的非构造性存在性证明形成对比。
• 在仅能获得历史样本或经验分布的实际场景中，实现均衡策略的准确且快速计算。
• 利用所提出的算法对离散近似下的第一价格与第二价格拍卖在福利与收益方面的差异进行探索。

提出的方法

• 引入了“出价集合”概念，系统分析在给定价值分布下哪些出价可被投标人合理化。
• 提出算法2，通过迭代求解基于离散价值与出价空间的最佳响应策略来计算BNE，最多仅需$2nm$次操作。
• 采用构造性方法证明BNE的存在性，避免依赖连续近似或非构造性存在性定理。
• 使用从历史数据中获得的离散经验分布作为输入，使真实拍卖场景的直接建模成为可能。
• 将该算法应用于计算福利比率，并分析在离散价值分布下第一价格与第二价格拍卖之间的“无效率价格”（price of anarchy）。
• 采用归一化与离散采样技术来近似连续分布，从而探索极端福利比率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖连续近似的情况下，高效且稳健地计算具有离散价值分布的第一价格拍卖中的贝叶斯纳什均衡？
• RQ2 在离散情况下，贝叶斯纳什均衡是否存在且唯一，即使对价值分布函数的形状无任何假设？
• RQ3 与基于连续ODE解的传统方法相比，所提算法在速度与准确性方面表现如何？
• RQ4 在离散设置中，第一价格与第二价格拍卖之间的最小福利比率（无效率价格）是多少？何种价值分布结构使其最小化？
• RQ5 所提算法能否揭示连续模型中被掩盖的均衡行为结构特征，特别是在低价值出价区域？

主要发现

• 所提算法最多仅需$2nm$次操作即可计算BNE，其中$n$为投标人数量，$m$为不同出价水平数，因此效率极高。
• 该算法显著快于连续近似方法，且精度更高，尤其在小规模与中等规模的离散分布中表现更优。
• 在离散情况下，BNE的存在性与唯一性已得到证明，且无需对价值分布施加任何假设，这与以往连续情况下的结果不同，后者通常需要对数凹性或下界处存在正质量等假设。
• 该算法表现出明显的性能阈值：大多数实例在3.5秒内完成，表明其性能强烈依赖于输入价值分布的结构。
• 在离散近似空间中，第一价格与第二价格拍卖的最小无效率价格（即福利比率）约为0.89638，支持了极端情况出现在某一投标人具有恒定高价的猜想。
• 实验结果表明，最小福利比率出现在某一玩家的价值恒定且高于其他人的价值范围时，与文献中已知的实例一致。