[论文解读] Beating Random Assignment for Approximating Quantum 2-Local Hamiltonian Problems

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2020

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

该论文提出了首个针对量子2-局部哈密顿量问题的经典多项式时间近似算法，其性能优于随机赋值的0.75近似界限。通过利用半定规划松弛、埃尔米特多项式分析以及一种新颖的映射到乘积态的舍入方案，作者在一般秩-3投影算符实例上实现了0.764的近似，在严格二次型实例上实现了0.801的近似（数值结果表明可能达到0.821），而这类实例被猜想为最难的情况。

ABSTRACT

The quantum k-Local Hamiltonian problem is a natural generalization of classical constraint satisfaction problems (k-CSP) and is complete for QMA, a quantum analog of NP. Although the complexity of k-Local Hamiltonian problems has been well studied, only a handful of approximation results are known. For Max 2-Local Hamiltonian where each term is a rank 3 projector, a natural quantum generalization of classical Max 2-SAT, the best known approximation algorithm was the trivial random assignment, yielding a 0.75-approximation. We present the first approximation algorithm beating this bound, a classical polynomial-time 0.764-approximation. For strictly quadratic instances, which are maximally entangled instances, we provide a 0.801 approximation algorithm, and numerically demonstrate that our algorithm is likely a 0.821-approximation. We conjecture these are the hardest instances to approximate. We also give improved approximations for quantum generalizations of other related classical 2-CSPs. Finally, we exploit quantum connections to a generalization of the Grothendieck problem to obtain a classical constant-factor approximation for the physically relevant special case of strictly quadratic traceless 2-Local Hamiltonians on bipartite interaction graphs, where a inverse logarithmic approximation was the best previously known (for general interaction graphs). Our work employs recently developed techniques for analyzing classical approximations of CSPs and is intended to be accessible to both quantum information scientists and classical computer scientists.

研究动机与目标

• 通过经典算法克服量子2-局部哈密顿量问题长期存在的0.75近似瓶颈。
• 开发一种新的半定规划松弛舍入技术，将量子矩矩阵映射到乘积态。
• 分析严格二次型与迹为零的2-局部哈密顿量的近似因子，这些情形在物理上具有重要意义，且被猜想为最难的实例。
• 将经典近似技术推广至具有可证明保证的量子约束满足问题。
• 提供一个对量子信息科学家与经典计算机科学家均友好的分析框架。

提出的方法

• 将2-局部哈密顿量问题建模为带有秩-3投影算符项的量子约束满足问题。
• 对两量子比特态的矩矩阵应用半定规划松弛。
• 利用奇异值分解（SVD）与矩矩阵参数化方法，表达每个边项的期望值。
• 采用埃尔米特多项式展开，分析在舍入分布下边项期望值的性质。
• 通过在多面体上对有理函数建立边界，将SDP松弛值与舍入过程中的期望值关联起来。
• 应用一种新颖的舍入算法，将SDP解映射到乘积态，同时通过概率分析保持近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种经典多项式时间算法，能够对带有秩-3投影算符项的2-局部哈密顿量问题实现优于0.75的近似？
• RQ2 严格二次型情形（即最大纠缠且对称）是否为该问题中最难近似的实例？
• RQ3 埃尔米特多项式分析是否可用于在舍入方案下界定量子CSP中边项的期望值？
• RQ4 所提出的舍入方法是否能对迹为零、双分量的2-局部哈密顿量实现常数因子近似，从而优于先前的反对数界限？
• RQ5 能否通过将非投影算符、半正定局部项分解为投影算符，将该分析方法推广至此类情形？

主要发现

• 该论文提出了一种针对一般2-局部哈密顿量问题（带有秩-3投影算符项）的经典多项式时间0.764近似算法，超越了随机赋值的0.75界限。
• 对于严格二次型实例（即最大纠缠且对称的情形），该算法实现了0.801的近似，数值证据表明其可能达到0.821。
• 作者猜想严格二次型实例是最难近似的，其分析结果也支持这一猜想，因在该类实例上表现尤为出色。
• 对迹为零、双分量的2-局部哈密顿量在一般相互作用图上实现了常数因子近似，相比先前的反对数近似有显著提升。
• 通过结合埃尔米特展开、矩矩阵约束与多面体上的有理函数优化，首次以新颖分析方法证明了该舍入算法的有效性。
• 该方法具有可扩展性，为未来量子优化中具有投影算符或半正定局部项的问题提供了近似算法的通用框架。