[论文解读] Beating the curse of dimensionality in options pricing and optimal stopping

David A. Goldberg, Yilun Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 91被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新颖的纯对偶算法，用于定价高维路径依赖期权并求解最优停止问题，通过将最优值表示为递归定义的下确界之无穷级数来实现。该方法在近似质量与嵌套深度之间实现权衡，当截断至前 k 项时，误差界为 1/k，计算复杂度在时间 horizon T 上为多项式，且在维度上几乎无关，仅需样本路径模拟，无需基函数或对分布的先验知识。

ABSTRACT

The fundamental problems of pricing high-dimensional path-dependent options and optimal stopping are central to applied probability and financial engineering. Modern approaches, often relying on ADP, simulation, and/or duality, have limited rigorous guarantees, which may scale poorly and/or require previous knowledge of basis functions. A key difficulty with many approaches is that to yield stronger guarantees, they would necessitate the computation of deeply nested conditional expectations, with the depth scaling with the time horizon T. We overcome this fundamental obstacle by providing an algorithm which can trade-off between the guaranteed quality of approximation and the level of nesting required in a principled manner, without requiring a set of good basis functions. We develop a novel pure-dual approach, inspired by a connection to network flows. This leads to a representation for the optimal value as an infinite sum for which: 1. each term is the expectation of an elegant recursively defined infimum; 2. the first k terms only require k levels of nesting; and 3. truncating at the first k terms yields an error of 1/k. This enables us to devise a simple randomized algorithm whose runtime is effectively independent of the dimension, beyond the need to simulate sample paths of the underlying process. Indeed, our algorithm is completely data-driven in that it only needs the ability to simulate the original process, and requires no prior knowledge of the underlying distribution. Our method allows one to elegantly trade-off between accuracy and runtime through a parameter epsilon controlling the associated performance guarantee, with computational and sample complexity both polynomial in T (and effectively independent of the dimension) for any fixed epsilon, in contrast to past methods typically requiring a complexity scaling exponentially in these parameters.

研究动机与目标

• 解决高维路径依赖期权定价与最优停止问题中的维度灾难问题。
• 开发一种具有严格性能保证的方法，避免依赖基函数或对底层分布的先验知识。
• 通过可调参数 epsilon 实现近似精度与计算复杂度之间的系统性权衡。
• 减少对深度嵌套条件数学期望的依赖，此类依赖在现有方法中随时间 horizon T 增大而显著恶化。
• 通过一种新颖的对偶表示，实现时间 horizon T 上的多项式运行时间与样本复杂度，且在维度上几乎无关。

提出的方法

• 该方法引入一种受网络流类比启发的纯对偶公式化，将最优值转化为递归定义的下确界之无穷级数。
• 级数中的每一项对应一个嵌套层级，前 k 项仅需 k 层条件数学期望。
• 算法在截断至前 k 项后，保证误差界为 1/k，从而实现精度与计算量之间的可控权衡。
• 构建了一种随机化算法，可高效模拟底层过程的样本路径并计算截断级数。
• 该方法完全基于数据，仅需模拟随机过程的能力，无需了解其分布或基函数。
• 通过参数 epsilon 控制性能，确保计算复杂度与样本复杂度在时间 horizon T 上为多项式，且在问题维度上几乎无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种基于对偶的方法，避免对基函数的依赖，并在高维最优停止问题中提供严格的误差界？
• RQ2 是否可能将最优值表示为一个级数，其中每一项仅需受控的嵌套层级，从而实现可扩展的计算？
• RQ3 在高维设置下，如何形式化并控制近似质量与计算复杂度之间的权衡？
• RQ4 该算法能否在时间 horizon T 上实现多项式复杂度，同时保持维度无关性？
• RQ5 一种仅依赖样本路径模拟的、数据驱动方法的理论基础是什么？

主要发现

• 最优值可表示为无穷级数，其中每一项为递归定义的下确界的期望，从而实现结构化的近似。
• 在截断至前 k 项后，近似误差被限制在 1/k 以内，提供了精度与计算量之间清晰的权衡。
• 该方法仅需对底层过程的样本路径模拟，无需对分布或基函数的先验知识。
• 计算复杂度与样本复杂度在时间 horizon T 上为多项式，且对任何固定的 epsilon，几乎与问题维度无关。
• 该算法在不依赖启发式基函数选择的前提下，实现了严格的性能保证，克服了众多先前 ADP 与基于对偶方法的局限性。
• 该方法在高维设置下实现了可扩展的、数据驱动的定价与最优停止，通过一种新颖的对偶公式化，克服了维度灾难。