[论文解读] Beating the Harmonic lower bound for online bin packing

Sandy Heydrich, Rob van Stee|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2015

Optimization and Packing Problems参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新型在线装箱算法，其渐近竞争比达到1.5813，突破了在Super Harmonic框架内长期存在的1.58333下界。该方法针对中等大小物品引入了基于精确尺寸的决策，并通过线性规划中的标记物品约束，收紧了对最优解的下界估计，从而实现了超越以往方法的性能提升。

ABSTRACT

In the online bin packing problem, items of sizes in (0,1] arrive online to be packed into bins of size 1. The goal is to minimize the number of used bins. In this paper, we present an online bin packing algorithm with asymptotic competitive ratio of 1.5813. This is the first improvement in fifteen years and reduces the gap to the lower bound by 15%. Within the well-known SuperHarmonic framework, no competitive ratio below 1.58333 can be achieved. We make two crucial changes to that framework. First, some of our algorithm's decisions depend on exact sizes of items, instead of only their types. In particular, for each item with size in (1/3,1/2], we use its exact size to determine if it can be packed together with an item of size greater than 1/2. Second, we add constraints to the linear programs considered by Seiden, in order to better lower bound the optimal solution. These extra constraints are based on marks that we give to items based on how they are packed by our algorithm. We show that for each input, a single weighting function can be constructed to upper bound the competitive ratio on it. We use this idea to simplify the analysis of SuperHarmonic, and show that the algorithm Harmonic++ is in fact 1.58880-competitive (Seiden proved 1.58889), and that 1.5884 can be achieved within the SuperHarmonic framework. Finally, we give a lower bound of 1.5762 for our new framework.

研究动机与目标

• 在Super Harmonic框架内突破在线装箱问题中1.58333竞争比的障碍。
• 在已知的调和下界之外，进一步提升在线装箱算法的渐近竞争比。
• 开发一种利用精确物品尺寸和物品标记来强化最优解下界估计的框架。
• 简化现有Super Harmonic算法（如Harmonic++）的分析过程。
• 为所提出的框架建立1.5762的新下界。

提出的方法

• 针对(1/3, 1/2]尺寸范围内的物品，引入基于精确尺寸的装箱决策，超越Super Harmonic框架中基于类型划分的决策方式。
• 根据物品的装箱行为为其分配标记，以在用于界定最优解的线性规划中构建更紧致的约束。
• 为每个输入使用单一权重函数，以对竞争比进行上界估计，从而简化对多样化输入模式的分析。
• 通过引入基于物品标记和精确尺寸的约束，对Super Harmonic框架进行改进，提升对最优装箱数量的下界估计。
• 通过对多种输入模式进行案例分析，推导出竞争比，重点聚焦于包含不同类型红色和蓝色物品的装箱模式。
• 在带标记约束的线性规划中应用计算，以确定最优解所需最小空间相对于算法使用量的比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Super Harmonic框架能否被扩展以突破在线装箱问题中1.58333的竞争比障碍？
• RQ2 基于精确物品尺寸的决策在多大程度上可使竞争比超越基于类型的装箱方法？
• RQ3 通过在线性规划中引入物品标记和附加约束，能否获得更紧致的最优解下界？
• RQ4 是否可能通过统一的权重函数简化对现有Super Harmonic算法的分析？
• RQ5 在采用精确尺寸与标记决策的新框架下，可实现的最佳竞争比是多少？

主要发现

• 所提出的算法实现了1.5813的渐近竞争比，与理论下界之间的差距减少了15%。
• 该算法打破了此前在Super Harmonic框架内被认为不可逾越的1.58333竞争比障碍。
• 分析表明，Harmonic++是1.58880-competitive的，优于Seiden提出的1.58889的上界。
• 在原始Super Harmonic框架中，通过优化约束条件，可实现1.5884的竞争比。
• 新框架在特定参数设置下（red₁=0, red₂=0.1800, red₃=0.1276, red₄=0.1428）建立了1.5762的竞争比下界，该下界为紧致下界。
• 在redfit₄=3的情况下，下界达到100/63 ≈ 1.5873，验证了该框架在不同配置下的稳健性。