[论文解读] Behavior of different numerical schemes for population genetic drift problems

Minxin Chen, Chun Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2014

Arctic and Antarctic ice dynamics参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文分析了三种有限体积格式——迎风格式和两种中心格式——用于求解退化对流主导的遗传漂变方程。结果表明，仅保留通量结构的中心格式可避免人为数值黏性，正确保持总概率和期望值；而迎风格式及其他中心格式则引入虚假黏性，导致错误的稳态解。

ABSTRACT

In this paper, we focus on numerical methods for the genetic drift problems, which is governed by a degenerated convection-dominated parabolic equation. Due to the degeneration and convection, Dirac singularities will always be developed at boundary points as time evolves. In order to find a \emph{complete solution} which should keep the conservation of total probability and expectation, three different schemes based on finite volume methods are used to solve the equation numerically: one is a upwind scheme, the other two are different central schemes. We observed that all the methods are stable and can keep the total probability, but have totally different long-time behaviors concerning with the conservation of expectation. We prove that any extra infinitesimal diffusion leads to a same artificial steady state. So upwind scheme does not work due to its intrinsic numerical viscosity. We find one of the central schemes introduces a numerical viscosity term too, which is beyond the common understanding in the convection-diffusion community. Careful analysis is presented to prove that the other central scheme does work. Our study shows that the numerical methods should be carefully chosen and any method with intrinsic numerical viscosity must be avoided.

研究动机与目标

• 识别在退化对流主导的抛物型偏微分方程控制下，能正确保持遗传漂变模拟中总概率和期望值的数值格式。
• 分析不同有限体积格式的长期行为，特别是由数值黏性引起的虚假稳态。
• 证明任何额外的无穷小微量扩散都会导致相同的错误稳态解，凸显无黏性方法的必要性。
• 证明中心格式可能引入意外的数值黏性，挑战对流-扩散问题中传统认知。
• 确立仅特定基于通量的中心格式能保持完整解结构，包括边界处的狄拉克奇点。

提出的方法

• 采用三种有限体积格式：一种迎风格式和两种中心差分方法，均用于离散遗传漂变方程中的通量。
• 采用有限体积格式，其中通量被拆分为对流与扩散项（格式1和2）或整体处理（格式3）。
• 应用离散最大值原理和能量估计，证明所有格式均无条件稳定。
• 利用离散霍尔德不等式和Poincaré型不等式推导解衰减的解析界，以研究长期行为。
• 证明任何额外的无穷小微量扩散都会导致相同的虚假稳态解，无论采用何种格式。
• 分析数值黏性项的结构，表明格式2引入二阶数值黏性，而格式1引入一阶数值黏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些数值格式能正确保持遗传漂变方程解中的总概率和期望值？
• RQ2 为何迎风格式和某些中心格式在稳定的情况下仍产生虚假稳态？
• RQ3 数值黏性（尤其是中心格式引起的）如何影响退化对流主导PDE解的长期行为？
• RQ4 中心差分格式能否避免引入数值黏性，其条件是什么？
• RQ5 在存在狄拉克奇点的问题中，通量离散化的哪些结构特性可确保正确的长期行为？

主要发现

• 所有三种格式均无条件稳定且保持总概率守恒，但仅基于通量的中心格式（格式3）能正确保持期望值随时间的变化。
• 迎风格式引入一阶数值黏性，导致错误的虚假稳态，尽管其本身稳定。
• 其中一种中心格式（格式2）引入了二阶数值黏性项，与普遍认为中心格式无黏性的观点相悖。
• 任何额外的无穷小微量扩散，无论大小，均导致相同的虚假稳态解，证明此类扩散与完整解结构根本不相容。
• 格式3通过使用中心差分整体处理通量，避免了虚假黏性，其长期行为与包含狄拉克奇点的解析解完全一致。
• 本研究揭示标准对流-扩散数值方法在此类问题中失效，因其内在存在数值黏性，故必须谨慎选择方法。