[论文解读] Behavior of solutions to the 1D focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation with spatially correlated noise

Annie Millet, Alex D Rodriguez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 45被引用 6

一句话总结

本文研究了由空间相关布朗运动驱动的1D聚焦随机非线性薛定谔方程。采用伊tô积分时，质量保持守恒，而能量则随机演化；数值模拟表明，空间相关噪声主要改变爆破中心位置，而不改变爆破形态或速率，并在临界和超临界情形下降低爆破概率，尤其在噪声更强或更局域化时效果更显著。

ABSTRACT

We study the focusing stochastic nonlinear Schr\"odinger equation in one spatial dimension with multiplicative noise, driven by a Wiener process white in time and colored in space, in the $L^2$-critical and supercritical cases. The mass ($L^2$-norm) is conserved due to the multiplicative noise defined via the Stratonovich integral, the energy (Hamiltonian) is not preserved. We first investigate how the energy is affected by various spatially correlated random perturbations. We then study the influence of the noise on the global dynamics measuring the probability of blow-up versus scattering behavior depending on various parameters of correlation kernels. Finally, we study the effect of the spatially correlated noise on the blow-up behavior, and conclude that such random perturbations do not influence the blow-up dynamics, except for shifting of the blow-up center location. This is similar to what we observed in [32] for a space-time white driving noise.

研究动机与目标

• 分析空间相关乘性噪声对1D聚焦随机NLS方程能量与全局动力学的影响。
• 确定噪声相关结构如何影响有限时间爆破与散射行为的概率。
• 研究空间相关噪声是否与确定性情形相比改变了爆破形态、速率或中心位置。
• 与先前关于时空白噪声的研究结果进行比较，并拓展对L2-临界与超临界情形下随机NLS的理解。

提出的方法

• 采用伊特ô积分以确保随机NLS方程中L2-范数（质量）守恒。
• 通过具有迹类协方差（高斯或多项式衰减）的Q-布朗运动，以及具有Riesz或指数核的齐次布朗运动来建模噪声。
• 采用质量守恒的数值格式，以追踪离散质量与能量随时间的演化。
• 进行大量数值模拟（1000–3000次试验），以估计爆破概率及爆破中心位置的分布。
• 通过形态收敛与速率追踪分析爆破动力学，并与确定性基态进行比较。
• 计算并比较不同噪声相关类型与参数下的能量边界与渐近能量水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间相关噪声如何影响1D随机NLS方程中能量的时间演化？
• RQ2 噪声相关结构（如Riesz核与指数衰减）如何影响有限时间爆破的概率？
• RQ3 与确定性情形相比，空间相关噪声是否改变了爆破形态或速率？
• RQ4 在不同噪声实现下，爆破中心位置如何分布？其方差如何依赖于噪声参数？
• RQ5 空间相关噪声是否能诱导原本在确定性设定下全局存在的初值发生爆破？

主要发现

• 能量初始上升，并渐近趋近于一个接近时空白噪声情形下观测到的水平值，表明存在稳定的长期能量状态。
• 噪声强度越大、在原点附近空间集中度越高，临界与超临界情形下的爆破概率均降低，且在临界情形下影响更显著。
• 空间相关噪声可使原本全局存在的确定性解发生爆破，尤其在超临界情形下，通过扰动能量与质量阈值实现。
• 爆破形态与速率与确定性情形在统计上完全相同；仅爆破中心位置发生随机偏移。
• 爆破中心位置服从正态分布，其方差随噪声强度β增大而增加，尤其在示例3与4（Riesz核与指数核）中表现明显。
• 平均爆破中心位置仍靠近零点，但其方差随β显著增长，表明在更强噪声下爆破位置的不确定性增加。