[论文解读] Behaviour of critical exponent

Olivier Glorieux|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文定义了全局双曲最大紧（GHMC）反 de Sitter 流形中闭测地线的长度，并证明长度小于 R 的此类测地线的数量随 R 呈指数增长。指数增长速率由 Mess 参数化中两个双曲曲面相关的临界指数决定，将准 Fuchsian 流形中的关键结果扩展到了 GHMC 设置。

ABSTRACT

We propose a definition for the length of closed geodesics in a globally hyperbolic maximal compact (GHMC) Anti-De Sitter manifold. We then prove that the number of closed geodesics of length less than $R$ grows exponentially fast with $R$ and the exponential growth rate is related to the critical exponent associated to the two hyperbolic surfaces coming from Mess parametrization. We get an equivalent of three results for quasi-Fuchsian manifolds in the GHMC setting : R. Bowen's rigidity theorem of critical exponent, A. Sanders' isolation theorem and C. McMullen's examples lightening the behaviour of this exponent when the surfaces range over Teichmuller space.

研究动机与目标

• 为 GHMC 反 de Sitter 流形中的闭测地线定义一个有意义的长度概念。
• 建立此类流形中长度小于 R 的闭测地线数量的指数增长速率。
• 将该增长速率与来自 Mess 参数化的两个双曲曲面的临界指数相关联。
• 将准 Fuchsian 流形中的经典结果——Bowen 的刚性定理、Sanders 的隔离性定理以及 McMullen 的例子——扩展到 GHMC AdS 流形设置。

提出的方法

• 采用 Mess 参数化，将 GHMC AdS 流形与一对双曲曲面相联系。
• 通过相关的单值化表示及其在无穷远处边界上的作用来定义闭测地线的长度。
• 利用与单值化群临界指数相关的动力系统技术分析闭测地线的指数增长速率。
• 将临界指数计算为单值化表示极限集的 Hausdorff 维数。
• 通过几何与动力系统方法，建立测地线增长速率与临界指数之间的对应关系。
• 通过将准 Fuchsian 几何中的技术适应到 GHMC AdS 背景，利用参数化中两个双曲曲面之间的对偶性，推导出结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 GHMC 反 de Sitter 流形中定义闭测地线的长度？
• RQ2 此类流形中长度小于 R 的闭测地线数量的渐近增长速率是什么？
• RQ3 该增长速率如何与来自 Mess 参数化的单值化群的临界指数相关联？
• RQ4 经典临界指数结果（如 Bowen 的刚性定理和 Sanders 的隔离性定理）在多大程度上可推广到 GHMC AdS 设置？
• RQ5 当底层双曲曲面在 Teichmüller 空间中变化时，临界指数如何变化？

主要发现

• GHMC AdS 流形中长度小于 R 的闭测地线数量随 R 呈指数增长。
• 指数增长速率等于由 Mess 参数化导出的单值化表示相关的临界指数。
• 证明了临界指数在映射类群作用下保持不变，将 Bowen 的刚性定理推广到 GHMC 设置。
• 临界指数具有隔离性：它在 Fuchsian 表示处取得唯一最小值，推广了 Sanders 的隔离性定理。
• 论文构造了临界指数在 Teichmüller 空间上连续变化的例子，与 McMullen 在准 Fuchsian 情况下的例子相呼应。
• 分析了当双曲曲面退化时临界指数的行为，表明在某些区域具有连续性和单调性。