[论文解读] Behaviour of the reference measure on $\sf RCD$ spaces under charts

Nicola Gigli, Enrico Pasqualetto|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 25

一句话总结

本文证明了，在Mondino与Naber构造的双Lipschitz图册下，有限维RCD空间上的参考测度的拉前像关于Lebesgue测度是绝对连续的。利用De Philippis与Rindler关于法向当前与取值于测度的散度的最新结果，作者证明了坐标图册的拉回测度是局部绝对连续的，从而解决了度量测度几何中的一个关键结构性问题，并实现了抽象切丛与以 pointed-measured Gromov-Hausdorff 极限定义的切空间之间的等价性。

ABSTRACT

Mondino and Naber recently proved that finite dimensional $\sf RCD$ spaces are rectifiable. Here we show that the push-forward of the reference measure under the charts built by them is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. This result, read in conjunction with another recent work of us, has relevant implications on the structure of tangent spaces to $\sf RCD$ spaces. A key tool that we use is a recent paper by De Philippis-Rindler about the structure of measures on the Euclidean space.

研究动机与目标

• 确定Mondino与Naber构造的双Lipschitz图册下，RCD空间上参考测度的行为。
• 通过证明该图册下参考测度的拉前像关于Lebesgue测度是绝对连续的，填补文献中的一项空白。
• 在通过Sobolev函数构造的抽象切丛与RCD空间中作为pointed-measured Gromov-Hausdorff极限出现的切空间之间建立结构性联系。
• 将切空间理论的应用范围扩展至具有下界Ricci曲率的奇异空间，超越Ricci极限空间的范畴。
• 为使用测度论与几何分析技术研究非光滑度量测度空间中的切结构，提供一个基础性工具。

提出的方法

• 利用De Philippis与Rindler关于法向当前与Lebesgue测度下测度绝对连续性的最新结果。
• 利用图册映射的微分将距离函数的梯度映射为欧氏空间上具有取值于测度的散度的向量场这一事实。
• 应用加权欧氏空间中取值于测度的散度与向量场的理论，证明拉前像测度是局部绝对连续的。
• 采用截断与逼近程序，处理距离函数的非光滑性，确保向量场属于散度算子的定义域。
• 通过涉及双Lipschitz常数与维数上界的几何估计，证明拉前像向量场在图册像集上几乎处处线性无关。
• 应用De Philippis-Rindler定理1.1，通过验证线性无关性与取值于测度的散度条件，得出拉前像测度的绝对连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Mondino-Naber图册下，RCD空间上参考测度的拉前像是否关于Lebesgue测度保持绝对连续？
• RQ2 是否可以在不依赖Cheeger-Colding方法中调和逼近的前提下，建立图册下参考测度的绝对连续性？
• RQ3 测度与向量场在何种结构性条件下，可通过法向当前理论实现绝对连续性？
• RQ4 距离函数的取值于测度的Laplacian如何促进拉前像测度的绝对连续性？
• RQ5 通过Sobolev函数构造的抽象切丛在多大程度上可与RCD空间中的几何切空间相等同？

主要发现

• 在Mondino-Naber分解中，每个图册下参考测度的拉前像关于对应欧氏空间上的Lebesgue测度是绝对连续的。
• 该结果适用于坐标由距离函数构成的图册，无需依赖调和逼近，与Cheeger-Colding方法不同。
• 通过De Philippis-Rindler定理在法向当前理论下的应用，利用由图册微分导出的向量场的取值于测度的散度，建立了绝对连续性。
• 关键几何输入是：在图册为双Lipschitz的集合上，距离函数梯度的线性无关性，其由双Lipschitz常数相对于维数的足够小性所保证。
• 证明依赖于使用截断函数与逼近的极限论证，确保目标空间中的向量场属于散度算子的定义域，且几乎处处方向线性无关。
• 该结果确认了RCD空间上参考测度在自然图册下表现如加权体积测度，从而实现了抽象切丛与pointed-measured Gromov-Hausdorff切空间之间的识别。