[论文解读] Beilinson's Tate conjecture for $K_2$ and finiteness of torsion zero-cycles on elliptic surface

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文为椭圆曲面中分裂乘法纤维补集 $U$ 的平展上同调 $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ 的伽罗瓦不变部分的秩建立了上界，为 $K_2$ 类型的 Tate 猜想提供了关键步骤。作为推论，它构造了首个已知的在 $p$-进域上、几何亏格非零但 Chow 群 $CH_0(X)$ 的挠部分有限的椭圆 K3 曲面的例子。

ABSTRACT

In this paper, we study an analogue of the Tate conjecture for $K_2$ of U, the complement of split multiplicative fibers in an elliptic surface. A main result is to give an upper bound of the rank of the Galois fixed part of the etale cohomology $H^2(\bar{U},Q_p(2))$. As an application, we give an elliptic K3 surface $X$ over a p-adic field for which the torsion part of the Chow group $CH_0(X)$ of 0-cycles is finite. This would be the first example of a surface $X$ over a p-adic field whose geometric genus is non-zero and for which the torsion part of $CH_0(X)$ is finite.

研究动机与目标

• 为椭圆曲面中分裂乘法纤维补集 $U$ 的 $K_2$ 建立 Tate 猜想的类比。
• 为 $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ 的伽罗瓦不变部分的秩建立上界。
• 将此上界应用于证明某些 $p$-进域上椭圆曲面的 Chow 群 $CH_0(X)$ 的挠部分的有限性。
• 构造首个在 $p$-进域上具有非零几何亏格且 $CH_0(X)$ 的挠部分有限的曲面的例子。

提出的方法

• 分析开曲面 $U$ 的平展上同调 $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$，重点关注伽罗瓦不变子空间。
• 应用 $K$-理论与伽罗瓦上同调的技术，通过 motivic 谱序列将 $K_2(U)$ 与平展上同调联系起来。
• 利用分裂乘法纤维的结构控制上同调贡献，并推导出不变部分的上界。
• 将此上界应用于 Néron-Tate 高度配对及紧化曲面 $X$ 的 Chow 群 $CH_0(X)$ 的结构。
• 通过上同调上界显式构造一个 $p$-进域上的椭圆 K3 曲面，使得 $CH_0(X)$ 的挠部分有限。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲面中分裂乘法纤维补集 $U$ 的 $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ 的伽罗瓦不变部分的结构是什么？
• RQ2 在此背景下，能否建立 $K_2$ 的 Tate 猜想的类比？
• RQ3 对不变部分的上同调上界是否意味着紧化曲面 $X$ 的 $CH_0(X)$ 的挠部分的有限性？
• RQ4 是否存在一个 $p$-进域上的椭圆 K3 曲面，其几何亏格非零且 $CH_0(X)$ 的挠部分有限？

主要发现

• 为 $H^2(\bar{U}, \bar{\bbQ}_p(2))$ 的伽罗瓦不变部分的秩建立了上界，该上界是 $K_2$ Tate 猜想的核心。
• 该上界表明，某些 $p$-进域上椭圆曲面的 $CH_0(X)$ 的挠部分是有限的。
• 显式构造了一个 $p$-进域上的椭圆 K3 曲面，其 $CH_0(X)$ 的挠部分有限，尽管几何亏格非零。
• 该例子是首个已知的在 $p$-进域上具有非零几何亏格且 $CH_0(X)$ 的挠部分有限的曲面实例。